Múltiplo de 99

PROBLEMA Qual é o menor múltiplo de [tex]99[/tex] que começa e termina com [tex]97[/tex]? DICA Como o número procurado deve ser divisível por [tex]99[/tex], então deve ser divisível por [tex]9[/tex] e também por [tex]11[/tex]! Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/06/multiplo-de-99/

Área Sombreada entre o Triângulo e Semicírculo

PROBLEMA Calcule a área sombreada, sabendo que [tex]ABC[/tex] é um triângulo equilátero e que sobre [tex]\overline{BC}[/tex] foi construído um semicírculo de raio [tex]1\;cm[/tex]. DICA Marque o ponto médio do lado [tex]\overline{BC}[/tex] e os pontos de interseções entre o semicírculo e os lados [tex]\overline{AB}[/tex] e [tex]\overline{AC}[/tex] do triângulo, traçando os segmentos que os unem e dividindo …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/06/area-sombreada-entre-o-triangulo-e-semicirculo/

Novas soluções

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/06/89432/

Triângulos entrelaçados

PROBLEMA Utilizando seis triângulos equiláteros, foi montada a figura abaixo. Os lados dos triângulos medem o dobro dos lados do hexágono regular central; então, que fração da área total dos seis triângulos corresponde à área do hexágono? DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Em problemas desse tipo, muitas vezes é útil tentar decompor a figura inicial em outras figuras …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/06/156397/

Um quadrado dividido em quadradinhos

PROBLEMA Um quadrado de área S foi dividido em 102 quadradinhos, dos quais 101 têm lados com comprimentos 1 cm. Determine todos os valores possíveis para a área S . DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Observe que [tex]S = x^2[/tex], onde [tex]x[/tex] é um número inteiro positivo. Atentem para o fato de que a soma das áreas dos …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/06/um-quadrado-dividido-em-quadradinhos/

Um quadrado, um pentágono e um ângulo

PROBLEMA Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e ABEFG é um pentágono regular. Qual a medida do ângulo determinado pelos segmentos GB e GD ? DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Lembrete: A medida, em graus, de cada um dos ângulos internos de um polígono regular com [tex]n[/tex] lados é dada por [tex]\boxed{\dfrac{(n-2)180^{\circ}}{n}}[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/06/um-quadrado-um-pentagono-e-um-angulo/

Três números, três produtos

PROBLEMA Determine os números positivos [tex]a[/tex], [tex]b\,[/tex] e [tex]\,c\,[/tex] tais que [tex]ab=112[/tex], [tex]ac=168\,[/tex] e [tex]\,bc=96\,.[/tex] DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Que tal fazer o produto de todas as equações? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente e vocês não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/06/tres-numeros-tres-produtos/

O cálculo do valor mínimo da função

PROBLEMA Considere a função polinomial [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/tex] definida por [tex]f(x)=(x^{2} +2020x-1)^{2} +(2x+ 2020)^{2}[/tex]. a) Encontre números reais [tex]k[/tex] e [tex]h[/tex] tais [tex]f(x)=(x^{2}+kx+1)^{2} +h[/tex]; b) Encontre o valor mínimo da função [tex]f[/tex]. DICA O que acham de fazer a expansão dos termos de [tex]f(x)=(x^{2} +2020x-1)^{2} +(2x+ 2020)^{2}[/tex] e depois a expansão da mesma, …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/06/o-calculo-do-valor-minimo-da-funcao/

Calculando a imagem da função

PROBLEMA Considere a função polinomial [tex]f(x) = x^{3} + 2x^{2} -ax -2[/tex], onde [tex]a[/tex] é um número real. Sabendo que [tex]x_{1}[/tex] e [tex]-x_{1}[/tex] são raízes de [tex]f(x)[/tex]. Calcule [tex]f(2)[/tex]? DICA Como [tex]x_1[/tex] e [tex]-x_1[/tex] são raízes da função [tex]f[/tex], então [tex]f(x_1) = f(-x_1) = 0[/tex]. A partir disso, montem duas equações em [tex]x_1[/tex] a fim …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/06/calculando-a-imagem-da-funcao/

Uma identidade para o coeficiente binomial

PROBLEMA Prove que, para quaisquer naturais [tex]n,k[/tex], com [tex] 1 \leq k \leq n[/tex], vale a seguinte identidade: [tex]k {\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)} = n {\left( \begin{array}{c} n-1 \\ k-1 \end{array} \right)}[/tex]. DICA [tex]{\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)}= \dfrac{n!}{k!(n-k)!} [/tex] , com [tex]n \geq k[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/06/uma-identidade-para-o-coeficiente-binomial/