Ali Babão e a décima quinta de suas 40 equações

Sabendo que [tex]x,y[/tex] e [tex]z[/tex] são números reais tais que [tex]x \geqslant 1\\[/tex], [tex]y \geqslant \frac{1}{2}\\[/tex], [tex]z \geqslant \frac{3}{2}\\[/tex], encontre TODAS as soluções da equação [tex]\left(xyz\right)^2=12\left(x-1 \right)\left(2y-1 \right)\left(2z-1 \right).[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem …

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Um sistema com infinitas soluções

O sistema [tex]\qquad \qquad \begin{cases} 3ax+2by=16\\ x+2y=8 \end{cases}\\ \,[/tex] tem infinitas soluções para as variáveis [tex]x[/tex] e [tex]y.[/tex] Determinar os possíveis valores de [tex]a[/tex] e de [tex]b.[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico …

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Soma de três inversos

Sejam [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] números reais, distintos dois a dois, tais que [tex]\qquad\qquad a=\sqrt[3]{1-4b-4c}[/tex] , [tex]\qquad\qquad b=\sqrt[3]{1-4c-4a}[/tex] , [tex]\qquad \qquad c=\sqrt[3]{1-4a-4b}[/tex] . Determinar o valor da soma [tex]\,\,\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}[/tex] . Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, …

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Números 3 por 4

Um número natural é dito [tex]\textcolor{#D02090}{3 \text{ por } 4} [/tex] se ele tiver [tex]3[/tex] dígitos e o produto desses dígitos for [tex]4.[/tex] Por exemplo, [tex] 221[/tex] é [tex] 3[/tex] por [tex]4[/tex], pois tem [tex]3[/tex] algarismos e [tex]2 \cdot 2 \cdot 1=4[/tex]. Quantos números [tex]\textcolor{#D02090}{3 \text{ por } 4} [/tex] existem? Reúnam seus Clubes e …

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Sequência de Quadrados Perfeitos

A sequência infinita [tex]149162536\dots[/tex] é formada escrevendo os quadrados de todos os inteiros positivos, um após o outro, em ordem crescente. Qual é o dígito que ocupa a posição [tex]1000[/tex] dessa lista? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 21, próxima quinta-feira, deem …

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Pares de Meias

Pedro foi a uma loja e separou quatro pares de meias de cor preta e alguns pares de meias de cor azul. No caixa, ao efetuar o pagamento, o número de pares de meias das duas cores foi trocado e, desta forma, o valor da compra teve um acréscimo de [tex]50\%[/tex]. Determine quantos pares de …

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Muitos pés de alface!

Um agricultor colheu toda a sua plantação de pés de alface e pediu para os seus quatro filhos que agrupassem os pés colhidos, preparando-os para o transporte. O primeiro filho agrupou os pés de alface de onze em onze, mas faltou um pé. O segundo filho agrupou os pés de alface de treze em treze …

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Área de um triângulo

[tex] ABCD [/tex] é um quadrado cuja área mede [tex]40\,cm^2[/tex]. Sabendo que [tex]E[/tex] e [tex]F[/tex] são, respectivamente, os pontos médios dos lados [tex]\overline{CD}[/tex] e [tex]\overline{DA}[/tex], determine a medida da área do triângulo [tex]BEF[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na …

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Ali Babão e a décima quarta de suas 40 equações

Ali Babão apresentou aos seus discípulos um tipo interessante de equações algébricas: equações cujos coeficientes equidistantes dos extremos ou são todos iguais ou são todos simétricos. Esquematicamente, são equações da forma tais que [tex]\qquad \qquad [/tex] ou [tex]a_n=a_0\,,\, a_{n-1}=a_1\,,\, a_{n-2}=a_2,\cdots\, [/tex] ; [tex]\qquad \qquad [/tex] ou [tex] a_n=-a_0\,,\,a_{n-1}=-a_1\,,\, a_{n-2}=-a_2,\cdots\, [/tex] . Ajude aos discípulos do …

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Ali Babão e a décima terceira de suas 40 equações

Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números inteiros. Determinar numericamente as raízes da equação [tex]\qquad \qquad \left(ax-b\right)^2+\left(bx-a\right)^2=x[/tex], sabendo que essa equação admite uma raiz inteira. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico deste problema e postem …

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