Categoria: ***Problemão

Relação Entre Áreas no Tetraedro

PROBLEMA A figura mostra um tetraedro [tex]ABCD[/tex], onde [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex] são vértices de um paralelepípedo retangular de dimensões com medidas [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex]. Sejam [tex]F_A[/tex], [tex]F_B[/tex], [tex]F_C[/tex] e [tex]F_D[/tex] as áreas das faces opostas aos vértices [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex], respectivamente. Prove que [tex]F^2_A + F^2_C= F^2_B + F^2_D[/tex]. DICA …

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Contando polígonos no eneágono

PROBLEMA Quantos polígonos convexos se pode formar de modo que seus vértices sejam os vértices do eneágono abaixo? DICA Para sabermos quantos polígonos de [tex]n[/tex] ([tex]n\le9[/tex]) vértices existem de modo que os vértices são vértices do eneágono, basta sabermos qual o total de maneiras de escolhermos [tex]n[/tex] vértices dentre os [tex]9[/tex] do eneágono. Reúnam seus …

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Ali Babão e a vigésima sexta de suas 40 equações

PROBLEMA Resolva nos reais a equação [tex]x^{2}+4xcos(xy)+4=0[/tex]. DICA Use completamento de quadrado a fim de encontrar um trinômio quadrado perfeito envolvendo [tex]cos ~(xy)[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 09/07/2020, deem uma passadinha na Sala Problemas 2020: Dicas e …

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Ali Babão e a vigésima quinta de suas 40 equações

PROBLEMA Para que valores reais [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] a igualdade [tex]5x^{2}+5y^{2}+8xy+2y-2x+2=0[/tex] existe? DICA O que acha de tentar escrever o primeiro membro da equação como soma de quadrados perfeitos? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 09/07/2020, deem uma passadinha …

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Incógnitas em uma Progressão Aritmética

PROBLEMA Sabendo que [tex](x + 2y, 3x − 5y, 8x − 2y, 11x − 7y + 2z)[/tex] é uma progressão aritmética com o último termo igual a [tex]−127[/tex], calcule [tex]x\cdot y\cdot z[/tex]. DICA Dada a Progressão Aritmética [tex](a_1, a_2, a_3, \cdots)[/tex], o termo geral é dado por [tex]a_n=a_1+(n-1)\cdot r[/tex], sendo [tex]r=a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=\cdots[/tex] a razão da PA. …

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Múltiplo de 99

PROBLEMA Qual é o menor múltiplo de [tex]99[/tex] que começa e termina com [tex]97[/tex]? DICA Como o número procurado deve ser divisível por [tex]99[/tex], então deve ser divisível por [tex]9[/tex] e também por [tex]11[/tex]! Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima …

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Área Sombreada entre o Triângulo e Semicírculo

PROBLEMA Calcule a área sombreada, sabendo que [tex]ABC[/tex] é um triângulo equilátero e que sobre [tex]\overline{BC}[/tex] foi construído um semicírculo de raio [tex]1\;cm[/tex]. DICA Marque o ponto médio do lado [tex]\overline{BC}[/tex] e os pontos de interseções entre o semicírculo e os lados [tex]\overline{AB}[/tex] e [tex]\overline{AC}[/tex] do triângulo, traçando os segmentos que os unem e dividindo …

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O cálculo do valor mínimo da função

PROBLEMA Considere a função polinomial [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/tex] definida por [tex]f(x)=(x^{2} +2020x-1)^{2} +(2x+ 2020)^{2}[/tex]. a) Encontre números reais [tex]k[/tex] e [tex]h[/tex] tais [tex]f(x)=(x^{2}+kx+1)^{2} +h[/tex]; b) Encontre o valor mínimo da função [tex]f[/tex]. DICA O que acham de fazer a expansão dos termos de [tex]f(x)=(x^{2} +2020x-1)^{2} +(2x+ 2020)^{2}[/tex] e depois a expansão da mesma, …

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Distância entre os centros

PROBLEMA A figura mostra um triângulo isósceles de lados medindo [tex]10[/tex], [tex]10[/tex] e [tex]12[/tex] e duas circunferências de raio [tex]1[/tex] tangentes a dois lados do triângulo. Calcule a medida [tex]x[/tex] da distância entre os centros das circunferências. DICA Traçando-se segmentos a partir dos centros das circunferências, pode-se dividir o triângulo [tex]ABC[/tex] em quatro regiões (três …

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Encontre as medidas dos ângulos

PROBLEMA Seja [tex]ABC[/tex] um triângulo equilátero de baricentro [tex] O[/tex] e lado medindo [tex] 3[/tex]. Considere [tex] P[/tex] um ponto sobre o lado [tex]\overline{AB}[/tex] tal que [tex]AP=1[/tex] e [tex]M[/tex] sobre o lado [tex]\overline{AC}[/tex] tal que [tex]CM=1[/tex]. Encontre as medidas dos ângulos do triângulo [tex]MOP[/tex]. DICA Lembrem-se de que, em um triângulo equilátero, o baricentro também …

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