Categoria: ***Problemão

Defesa Francesa

PROBLEMA No jogo de xadrez, a Defesa Francesa ocorre quando o jogador das peças pretas responde ao lance inicial 1. e4 das brancas (avanço do peão em frente do rei branco duas casas) com o lance 1… e6 (avanço do peão em frente do rei preto uma casa). Por meio de consultas a banco de …

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Xadrez

PROBLEMA Uma das modalidades de controle de tempo no jogo de xadrez é o 15|10, no qual cada jogador tem 15 minutos, mais 10 segundos de tempo adicional por cada lance realizado durante a partida. Se um jogador fizer um lance a cada 25 segundos, qual será o número máximo de lances que ele poderá …

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Sinais Luminosos

PROBLEMA Deseja-se transmitir sinais luminosos por meio de um painel que possui seis lâmpadas brancas e seis vermelhas, colocadas nos vértices de um hexágono regular, de tal modo que: [tex]a)[/tex] em cada vértice haja duas lâmpadas de cores diferentes. [tex]b)[/tex] em cada vértice não haja mais do que uma lâmpada acesa. [tex]c)[/tex] o número mínimo …

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Troca de celulares

PROBLEMA Bruno viaja com sua esposa e seus três filhos para o Nordeste brasileiro na intenção de curtir o feriadão. No trajeto decidem parar num restaurante e fazer uma refeição. Todos possuem o mesmo modelo de aparelho celular e no restaurante deixam todos guardados na mochila de um dos filhos. Terminada a refeição, cada familiar …

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Quadrilátero inscritível

PROBLEMA Na figura abaixo, [tex]ABCD[/tex] é um quadrilátero inscrito numa circunferência de centro em [tex]O[/tex]. As diagonais [tex]AC[/tex] e [tex]BD[/tex] se intersectam perpendicularmente, onde [tex]AC[/tex] mede [tex]6\;cm[/tex] e [tex]BD[/tex] mede [tex]7\;cm[/tex]. a) Quanto mede, em [tex]cm^2[/tex], a área do quadrilátero [tex]ABCD[/tex]? b) Mostre que os triângulos [tex]AOB[/tex] e [tex]COD[/tex] possuem mesma área. DICA Dadas as …

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Um Lindo Produto

PROBLEMA Mostre que o produto [tex]\left(1+\dfrac{1}{a}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^2}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^4}\right) \cdots \left(1+\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\right)[/tex], onde [tex]a[/tex] é um número Real não nulo, resulta em [tex]\dfrac{ 1-\dfrac{1}{a^{2^{101}}}}{1-\dfrac{1}{a}}[/tex]. DICA Se multiplicar a expressão por [tex]\left(1-\dfrac{1}{a}\right)[/tex], você poderá utilizar um conhecido produto notável repetidas vezes! Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não …

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Volume complicado

PROBLEMA Seja [tex]ABCDEF[/tex] um hexágono regular inscrito numa circunferência de centro [tex]O[/tex] e raio [tex]6[/tex] cm. Considere a região interior à circunferência e exterior ao hexágono. Determine o volume gerado pela rotação completa dessa região em torno do eixo que passa pelos pontos [tex]A[/tex] e [tex]D[/tex]. DICA Qual seria o volume gerado pela região interior …

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Lado do dodecágono

PROBLEMA Seja [tex]ABCDEFGHIJKL[/tex] um dodecágono regular inscrito numa circunferência de centro [tex]O[/tex] e raio [tex]6[/tex] cm. Mostre que o lado desse dodecágono mede [tex]3\cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})[/tex] cm. DICA Pode ser interessante usar a Lei dos Cossenos no triângulo determinado pelo centro da circunferência e quaisquer dois vértices consecutivos do dodecágono. Reúnam seus Clubes e tentem resolver …

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Ali Babão e vigésima sétima de suas 40 equações

PROBLEMA Encontre as soluções reais da equação [tex]\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}=\sqrt{x+3}.[/tex] DICA Elevar ao quadrado e ter atenção às continhas são as dicas da vez para tornar a equação um pouco mais “simples”. Não deixe de tirar a prova das soluções! Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: …

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Relação Entre Áreas no Tetraedro

PROBLEMA A figura mostra um tetraedro [tex]ABCD[/tex], onde [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex] são vértices de um paralelepípedo retangular de dimensões com medidas [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex]. Sejam [tex]F_A[/tex], [tex]F_B[/tex], [tex]F_C[/tex] e [tex]F_D[/tex] as áreas das faces opostas aos vértices [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex], respectivamente. Prove que [tex]F^2_A + F^2_C= F^2_B + F^2_D[/tex]. DICA …

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