Categoria: ***Problemão

Quadrado Perfeito

Mostre que o número [tex] \underbrace {11 \dots 1}_{(n-1)~vezes}\underbrace {222 \dots 2}_{(n)~vezes}5[/tex] é um quadrado perfeito. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 23, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido …

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Área de um trapézio

Traçamos as diagonais [tex]\overline{AC}~[/tex] e [tex]~\overline{BD}[/tex] do trapézio retângulo [tex]ABCD[/tex] mostrado na figura. A interseção dessas diagonais é o ponto [tex]P[/tex] e as áreas dos triângulos [tex]APD ~[/tex] e [tex]~ABP [/tex] são [tex]10~cm^2~[/tex] e [tex] ~20~cm^2[/tex], respectivamente.[/size] Determinar a área do trapézio [tex]ABCD~.[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, …

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Sistema polinomial

Encontre todas as soluções reais do sistema de equações [tex]x^2(x^2+x+1)=28[/tex] [tex]x(x^3+x^2-1)=22[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 16, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido o problema, postem suas soluções …

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Subconjuntos

(Banco de questões da OBMEP – Adaptado) Considere o conjunto [tex]A=\{1, 2, 3, \cdots, 2018\}[/tex]. Quantos subconjuntos de [tex]A[/tex] existem de modo que a soma de seus elementos seja [tex]2\ 037\ 164[/tex]? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 9, próxima quinta-feira, deem …

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Seguradora de Veículos

A Seguro e Cia vende seguros contra roubo para as [tex]20[/tex] vans de uma empresa de entrega de carga, onde o seguro de todos os veículos citados tem uma anuidade de [tex]R\$\ 200\ 000,00[/tex]. No caso de uma van ser roubada, a empresa recebe um prêmio no valor de [tex]R\$\ 220\ 000,00[/tex], que corresponde ao …

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Soma, Produto e Fatorial

Calcule o valor da expressão: [tex]1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\cdots\ +19\cdot19![/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 26, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido o problema, postem suas soluções no Blog para que …

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Positivo ou negativo?

Dois jogadores [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] jogam o seguinte jogo: Sorteiam-se simultaneamente de uma urna contendo [tex]200[/tex] bolas idênticas marcadas com os números do conjunto [tex]\{-100, -99,\dots, -1, 1, \dots, 99, 100\}[/tex] duas bolas e multiplicam-se os números das bolas sorteadas. Se o resultado for positivo, ganha o jogador [tex]A[/tex] e se for negativo, ganha o …

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Frete gratuito

(Unesp – Adaptado) Uma empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um raio de até [tex]30\ km[/tex] do depósito. Para a distância que ultrapassar [tex]30\ km[/tex], medida em linha reta desde o depósito, a empresa cobra [tex]R\$ 10,00[/tex] por quilômetro que ultrapasse os [tex]30\ km[/tex] iniciais gratuitos. Essa cobrança também é feita …

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Código Morse

O código Morse é um sistema de transmissão de informações em que as letras do alfabeto, numerais, etc. são representados por conjuntos ordenados de pontos e traços. Exemplos: Assim, para representar a letra [tex]G[/tex] precisamos de um conjunto ordenado de comprimento [tex]3[/tex], pois utilizamos [tex]2[/tex] traços e [tex]1[/tex] ponto. Já no caso do [tex]9[/tex], o …

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Reposição de aulas 2

(UERJ 2010 – adaptado) Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente [tex]4[/tex] dos [tex]9[/tex] sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro, com a condição de que não fossem utilizados [tex]2[/tex] sábados consecutivos. Quantas são as possibilidades distintas de se atender às condições dessa reposição? …

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