Categoria: ***Problemão

Ali Babão e a décima segunda de suas 40 equações

Determine todos os pares de inteiros [tex](x,y)[/tex] tais que [tex]9xy-x^{2}-8y^2=2005[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 14, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido o problema, postem suas soluções no …

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Razão das Áreas

Considere o trapézio [tex]ABCD[/tex] cujas bases [tex]\overline{AB}[/tex] e [tex]\overline{CD}[/tex] medem [tex]5\;cm[/tex] e [tex]3\;cm[/tex], respectivamente. As diagonais [tex]\overline{AC}[/tex] e [tex]\overline{BD}[/tex] interceptam-se no ponto [tex]O[/tex]. Calcule a razão entre as áreas do triângulo [tex]ABO[/tex] e do trapézio [tex]ABCD[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia …

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Comissão não igualitária

De quantas maneiras uma comissão de [tex] 4 [/tex] pessoas pode ser formada, de um grupo de [tex] 6 [/tex] homens e [tex] 6 [/tex] mulheres, se a mesma é composta de um número maior de homens do que de mulheres? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz …

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Topo da Plataforma

Para acessar o topo de uma plataforma de saltos a [tex]400[/tex] cm de altura, um atleta deve subir uma escadaria que possui [tex]8[/tex] degraus no primeiro lance e [tex]6[/tex] degraus no segundo lance de escada, conforme mostra a figura. Sabendo que cada degrau possui [tex]30[/tex] cm de profundidade, qual o comprimento, em cm, da haste …

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Raízes inteiras

Sejam [tex]x_{1}[/tex] e [tex]x_{2}[/tex] as raízes da equação [tex]x^2+(m-15)x+m=0[/tex]. Sabendo que [tex]x_{1}[/tex] e [tex]x_{2}[/tex] são números inteiros, determine o conjunto de valores possíveis para [tex]m[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 17, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do …

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Encontre o ângulo

Num triângulo [tex]ABC[/tex] foram marcados os pontos [tex]D[/tex] e [tex]E[/tex] sobre os lado [tex]\overline{BC}[/tex] e [tex]\overline{ AC}[/tex], respectivamente, tais que as medidas [tex]CD=DE=EB=BA[/tex]. Sabendo que o ângulo [tex]A\widehat{C}B[/tex] mede [tex]20^{\circ}[/tex], encontre a medida do ângulo [tex]A\widehat{D}E[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia …

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Percursos para Casa de João

Na figura abaixo, temos a planta de uma região de um bairro, onde os pontos assinalados com as letras [tex] A[/tex], [tex] B[/tex] e [tex] C [/tex] são, respectivamente, a academia, o supermercado e a casa de João. Ele quer percorrer o caminho do ponto [tex] A [/tex] ao ponto [tex] C [/tex] passando por …

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Cruzamentos

A seguir, está ilustrado parte do mapa de uma cidade cujas vias são de mão única. Neste mapa, está indicada a quantidade média de veículos que trafegam em cada rua por minuto. Sendo [tex]x+y–z[/tex] o número de veículos que atravessam certo cruzamento por minuto, determine o número médio de veículos que atravessam esse cruzamento em …

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Maior valor

Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] números reais tais que [tex]x^{2}+y^{2}=8x+6y-16[/tex]. Qual o maior valor possível de [tex]x[/tex]? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 19, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido …

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Coeficientes do Polinômio

No desenvolvimento do polinômio [tex] p(x)=(ax^2-2bx+c+1)^5 [/tex], obtém-se um polinômio [tex]q(x)[/tex] cuja soma dos coeficientes é [tex]32[/tex]. Sabendo que [tex]0[/tex] e [tex]-1[/tex] são raízes de [tex]q(x)[/tex], calcule [tex]a+b+c[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia [tex]12[/tex], próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala …

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