Categoria: ***Problemão

Número de [tex]7[/tex] algarismos

Quantos números naturais de [tex]7[/tex] algarismos são tais que o produto dos seus algarismos resulta [tex]14[/tex]? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 11, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido …

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Caminhos Distintos

Em um jogo, quatro cidades, [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex], são conectadas por estradas conforme a figura abaixo. Quantos percursos diferentes começam e terminam na cidade [tex]A[/tex], e possuem exatamente [tex]50\;km[/tex]? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 4, próxima quinta-feira, deem uma …

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Latas de refrigerantes

Três amigos, Edgard, Max e Ronaldo, saíram juntos para comer e beber no sábado e domingo. Vendo a necessidade de organizar a despesa e o consumo de refrigerante que tiveram, utilizaram o critério matricial. Considere as matrizes abaixo: \begin{equation} A=\left[ \begin{array}{c c c} 1&2& 2\\ 1&0& 1\\ 1&1&1 \end{array}\right]\;\mbox{e}\; B=\left[ \begin{array}{c c c} 3&2& 1\\ …

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Classe Residual

Fixado um número inteiro [tex]n\gt 1[/tex], vamos associar a um número inteiro [tex]a[/tex] qualquer o símbolo [tex]\bar{a}[/tex] representando o resto da sua divisão por [tex]n[/tex]. Portanto, dados dois números [tex]a[/tex] e [tex] b[/tex] tem-se que [tex] \overline{a}=\overline{b}[/tex] se, e somente se, os restos da divisão de [tex]a[/tex] e de [tex]b [/tex] por [tex]n[/tex] são iguais. …

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Problemão: Multiplicar e Somar.

  Qual o valor da expressão [tex] 1 \cdot 2 \cdot 3 +2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + … + 98 \cdot 99 \cdot 100 [/tex]?     Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 21, próxima quinta-feira, …

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Equações do 2º grau

Consideremos as funções [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] definidas por [tex]f(x)=a_1x^2+b_1x+c_1[/tex] e [tex]g(x)=a_2x^2+b_2x+c_2[/tex], com [tex]a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2[/tex] constantes reais e [tex]a_1,\;a_2\neq 0[/tex]. Suponha que existem números reais [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex], com [tex]\alpha\neq \beta[/tex], tais que \begin{equation} f(\alpha)=f(\beta)=g(\alpha)=g(\beta)=0. \end{equation} Mostre que para [tex]b_1,b_2,c_1,c_2\neq 0[/tex], \begin{equation} \dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{c_2}{c_1}. \end{equation} Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não …

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Um Volume Diferente

Três quadrados de lado [tex]12[/tex] são cortados em dois pedaços [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], unindo os pontos médios de dois lados adjacentes, como mostrado na figura [tex]1[/tex] abaixo. Estas seis peças obtidas são arranjadas de modo a formar um hexágono regular, como mostrado na figura [tex]2[/tex] e dobradas de modo a formar um poliedro. Qual o …

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O maior número

Mostre que, para todo número natural [tex]n[/tex] não nulo, vale a desigualdade [tex]\sqrt{\dfrac{n-1}{n}} < 1[/tex]. Utilize tal fato para determinar qual dos números é o maior: [tex]200[/tex] ou [tex]1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{10000}}[/tex]? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 13, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na …

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