Categoria: ***Problemão

Raízes inteiras

Sejam [tex]x_{1}[/tex] e [tex]x_{2}[/tex] as raízes da equação [tex]x^2+(m-15)x+m=0[/tex]. Sabendo que [tex]x_{1}[/tex] e [tex]x_{2}[/tex] são números inteiros, determine o conjunto de valores possíveis para [tex]m[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 17, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do …

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Encontre o ângulo

Num triângulo [tex]ABC[/tex] foram marcados os pontos [tex]D[/tex] e [tex]E[/tex] sobre os lado [tex]\overline{BC}[/tex] e [tex]\overline{ AC}[/tex], respectivamente, tais que as medidas [tex]CD=DE=EB=BA[/tex]. Sabendo que o ângulo [tex]A\widehat{C}B[/tex] mede [tex]20^{\circ}[/tex], encontre a medida do ângulo [tex]A\widehat{D}E[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia …

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Percursos para Casa de João

Na figura abaixo, temos a planta de uma região de um bairro, onde os pontos assinalados com as letras [tex] A[/tex], [tex] B[/tex] e [tex] C [/tex] são, respectivamente, a academia, o supermercado e a casa de João. Ele quer percorrer o caminho do ponto [tex] A [/tex] ao ponto [tex] C [/tex] passando por …

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Cruzamentos

A seguir, está ilustrado parte do mapa de uma cidade cujas vias são de mão única. Neste mapa, está indicada a quantidade média de veículos que trafegam em cada rua por minuto. Sendo [tex]x+y–z[/tex] o número de veículos que atravessam certo cruzamento por minuto, determine o número médio de veículos que atravessam esse cruzamento em …

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Maior valor

Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] números reais tais que [tex]x^{2}+y^{2}=8x+6y-16[/tex]. Qual o maior valor possível de [tex]x[/tex]? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 19, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido …

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Coeficientes do Polinômio

No desenvolvimento do polinômio [tex] p(x)=(ax^2-2bx+c+1)^5 [/tex], obtém-se um polinômio [tex]q(x)[/tex] cuja soma dos coeficientes é [tex]32[/tex]. Sabendo que [tex]0[/tex] e [tex]-1[/tex] são raízes de [tex]q(x)[/tex], calcule [tex]a+b+c[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia [tex]12[/tex], próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala …

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Critério de divisibilidade por 7 para um número de 6 algarismos

Considere um número [tex] abcdef, [/tex] no sistema decimal, com seis algarismos, ou seja, [tex] abcdef = a\cdot 10^{5} + b \cdot 10^{4} + c \cdot 10^{3} + d \cdot 10^{2}+e \cdot 10+f \cdot 10^{0}, [/tex] onde [tex]a,b,c,d, e, f [/tex] são números inteiros ( com [tex] a,b,c,d,e,f \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} [/tex]) de forma que [tex] …

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Distribuição de livros

De quantas maneiras podemos distribuir [tex] 98 [/tex] livros iguais entre [tex] 4 [/tex] escolas? Pode ocorrer o caso de alguma das escolas não receber livro algum. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 8, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de …

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Raio menor

A figura abaixo apresenta um retângulo cujas dimensões medem [tex]2\;cm[/tex] e [tex]6\;cm[/tex], uma semicircunferência de centro [tex]A[/tex] e raio [tex]2\;cm[/tex] e outra semicircunferência de centro [tex]B[/tex] e raio [tex]1\;cm[/tex]. Calcule a medida do raio da circunferência tangente ao retângulo e às semicircunferências. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não …

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Movimento do Dado

Um dado comum se encontra em um extremo de um caminho formado por casinhas quadradas cujo tamanho é igual de suas faces. Fazendo o dado tombar face a face ao longo de todo o percurso até o quadrado cinza, qual quantidade de pontos indicará a face superior do mesmo? Reúnam seus Clubes e tentem resolver …

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