Uma função de Euler

Leonhard Euler (1707-1783) foi um brilhante matemático suíço que deixou inúmeras contribuições não só para a Matemática, mas também para a Física, para a Química e para a Astronomia. Entre seus inúmeros feitos, Euler definiu uma importante função, comumente denotada pela letra grega [tex]\varphi[/tex] (phi), bastante utilizada em Teoria dos Números, em particular na Criptografia. …

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Área máxima

Considere o triângulo arbitrário [tex]ABC[/tex]. Sobre o lado [tex]AC[/tex] tome um ponto [tex]P[/tex] e trace paralelas aos lados [tex]AB[/tex] e [tex]BC[/tex], encontrando os lados [tex]AB[/tex] e [tex]BC[/tex] nos pontos [tex]M[/tex] e [tex]N[/tex], respectivamente, como na figura. Determine [tex]P[/tex] de maneira que o paralelogramo [tex]BNPM[/tex] possua área máxima. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. …

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Divisibilidade por 100

Considere o número natural [tex]n=11^{10}-1.[/tex] Mostre que esse número é divisível por [tex]100[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 8, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido o problema, postem …

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Cata-vento

Ana, utilizando uma cartolina, cortou quatro retângulos com [tex]10\; cm[/tex] de comprimento por [tex]4\; cm[/tex] de largura. Juntando os retângulos formou um polígono com a aparência das hélices de um cata-vento, como na figura. Determine o perímetro do polígono formado por Ana. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não …

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Formatação das páginas do Blog

Caro usuário: Informamos que os ambientes do nosso Blog são formatados de modo a oferecerem uma boa visualização em telas com medidas a partir de [tex]14,7~cm \times 19,5~cm~.[/tex] Recomendamos que você utilize o Mozilla Firefox ou o Google Chrome para uma melhor visualização das páginas que contêm símbolos matemáticos. As versões do Safari para Windows …

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Uma desigualdade modular

Determine qual é o menor número inteiro tal que [tex]\left|2-\dfrac{3}{x} \right| \leqslant 2 .[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico deste problema e postem lá as suas dúvidas. Os nossos Moderadores com certeza …

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Um problema olímpico: Elementos de um conjunto

Considere o conjunto formado por todos os números inteiros positivos [tex]p[/tex] para os quais [tex]\dfrac{p^2+5}{p+2}[/tex] é também um inteiro positivo. Qual é o número de elementos desse conjunto? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo …

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Um peixe mal pesado…

HÁ MAIS TRUQUES ENTRE O PEIXE E A BALANÇA DO QUE IMAGINA O CONSUMIDOR Com balanças mais antigas (aquelas que utilizam dois pratos), muitas vezes o peso padrão utilizado para a pesagem é oco, ou seja, marca [tex]500~g[/tex], mas pode pesar somente [tex]300~g[/tex], por exemplo. (Adaptado de O Dia, 28/08/98) Uma balança de dois pratos …

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Números primos

Todas as afirmações abaixo são relacionadas a números primos. [tex]\textcolor{#800000}{(i)} [/tex] Dado um número primo, existe sempre um número primo maior que ele. [tex]\textcolor{#800000}{(ii)} [/tex] Se dois números não têm fatores primos iguais, então um deles é ímpar. [tex]\textcolor{#800000}{(iii)} [/tex] Um número primo é sempre ímpar. [tex]\textcolor{#800000}{(iv)} [/tex] O produto de três números naturais consecutivos …

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Asas de um morcego

Mariana está construindo, para sua festa de Halloween, asas de morcegos com pedaços retangulares de papel. Os pedaços possuem [tex]4\ cm[/tex] de largura e [tex]3\ cm[/tex] de comprimento. A construção das asas será realizada conforme representado na imagem abaixo. Calcule a área das asas de um morcego. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. …

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