Problemão: Somas de potência de 3

Quantos números de [tex]1[/tex] a [tex]2019[/tex] podem ser escritos como soma de duas ou mais potências distintas de [tex]3[/tex]? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 16, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para …

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Probleminha: Quantidade de Bombons.

Carla fez uma festa de aniversário para comemorar seus [tex] 10 [/tex] anos de idade. Para tanto, ela comprou um pacote de bombons e elaborou sua lista de convidados. Ao contar os bombons, verificou que, se fossem dados [tex] 12 [/tex] bombons a cada convidado, ainda sobrariam [tex] 4 [/tex] no pacote. No dia da …

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A FORMIGA e o TORRÃO

Uma formiga está no centro de uma das faces de um cubo e, na face oposta, existe um torrão de açúcar localizado em um de seus vértices. Sabendo que a aresta do cubo mede 10 cm, qual a distância do caminho mais curto que a formiga deve seguir até o torrão? Reúnam seus Clubes e …

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Um desafio geométrico

No paralelogramo [tex]ABCD[/tex] da figura abaixo, [tex]P[/tex] é um ponto do segmento [tex]DC[/tex]; o ponto [tex]Q[/tex] é a interseção da diagonal [tex]AC [/tex] com a reta que passa por [tex]P[/tex] e é paralela ao segmento [tex]AD[/tex]. Sabendo que a área do triângulo [tex]PBQ [/tex] é [tex]2~cm^2[/tex] e a área do triângulo [tex]ABP [/tex] é [tex]6~cm^2[/tex], …

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Uma função

Seja [tex]f[/tex] uma função real definida para qualquer número real diferente de [tex] 0[/tex] e [tex]1[/tex] e que satisfaz as seguintes condições: [tex] f(1-x)=\dfrac{1}{f(x)} [/tex] [tex] f(\frac{1}{x})=\dfrac{1}{f(f(x))} [/tex] [tex] f(f(f(x)))=x [/tex]. (a) Determine [tex]a[/tex] tal que [tex]f(a)=0[/tex]. (b) Determine [tex]b[/tex] tal que [tex]f(b)=1[/tex]. (c) Determine [tex]f(2),~ f(-1),~ f(\frac{1}{2})[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o …

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Caixas com bermudas

Em um canto do depósito de uma loja, foram encontradas três caixas grandes. Dentro de cada caixa havia duas caixas menores: uma branca e uma amarela. Cada caixa branca continha dez bermudas brancas e vinte bermudas amarelas e cada caixa amarela continha vinte bermudas brancas e dez bermudas amarelas. Quantas bermudas brancas foram encontradas? Reúnam …

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Numeração egípcia

O antigo sistema de numeração egípcio data, aproximadamente, do ano 3500 a.C. Para escrever os números, os egípcios utilizavam agrupamentos dos símbolos mostrados abaixo. Diferentemente do sistema de numeração que utilizamos nos dias de hoje, o sistema egípcio era aditivo e não posicional. Por exemplo, nesse sistema, os números [tex]314 [/tex] e [tex]1111[/tex] seriam escritos, …

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Falso Positivo

Um laboratório analisa um determinado exame com eficiência de [tex]95 \%[/tex] para detectar uma doença quando essa doença existe de fato. Entretanto, o teste aponta um resultado “falso positivo” para [tex]1 \%[/tex] das pessoas sadias testadas. Se [tex]0,5 \%[/tex] da população tem a doença, qual é, aproximadamente, a probabilidade de uma pessoa ter a doença …

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Duas Polias

Duas polias com centros em [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex], mostradas na figura, possuem raios que medem, respectivamente, [tex]8[/tex] cm e [tex]3[/tex] cm e a distância entre seus centros é [tex]13[/tex] cm. [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são pontos de tangência da correia que envolve as roldanas. Determine a medida da distância entre [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex]. Reúnam seus Clubes …

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Altura da cerca

Observe a figura a seguir. Observa-se a representação de três níveis de grade de uma cerca quadriculada cujos quadradinhos têm lados de [tex]10[/tex] cm. No total, essa cerca é composta por [tex]20[/tex] níveis iguais aos que foram representados acima. Qual a altura aproximada, em metros, dessa cerca de [tex]20[/tex] níveis? (Dado: [tex]\sqrt{2}=1,4[/tex].) Reúnam seus Clubes …

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