Categoria: Contagem

Sinais Luminosos

PROBLEMA Deseja-se transmitir sinais luminosos por meio de um painel que possui seis lâmpadas brancas e seis vermelhas, colocadas nos vértices de um hexágono regular, de tal modo que: [tex]a)[/tex] em cada vértice haja duas lâmpadas de cores diferentes. [tex]b)[/tex] em cada vértice não haja mais do que uma lâmpada acesa. [tex]c)[/tex] o número mínimo …

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Uma prova diferente

PROBLEMA Prove, por argumentos combinatórios, que: [tex]{\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right)}^{2}+{\left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right)}^{2}+{\left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right)}^{2}+\dots +{\left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array} \right)}^{2}+ {\left( \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right)}^{2}={\left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right)}[/tex], sendo [tex]n\ge 0[/tex] um número inteiro. DICA Pense em um …

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Troca de celulares

PROBLEMA Bruno viaja com sua esposa e seus três filhos para o Nordeste brasileiro na intenção de curtir o feriadão. No trajeto decidem parar num restaurante e fazer uma refeição. Todos possuem o mesmo modelo de aparelho celular e no restaurante deixam todos guardados na mochila de um dos filhos. Terminada a refeição, cada familiar …

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Somando elementos de um conjunto

PROBLEMA Seja [tex]S[/tex] o conjunto dos números de quatro dígitos formados pelos algarismos [tex]0, 1, 2[/tex] e [tex]3[/tex]. Qual a soma de todos os elementos de [tex]S[/tex]? DICA Cada um dos algarismos [tex]0, 1, 2[/tex] e [tex]3[/tex] aparece em quantos elementos de [tex]S[/tex] na casa das unidades? Faça a mesma análise para a casa das …

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Um dado diferente

PROBLEMA A montagem da planificação indicada na figura irá gerar um dado com as respectivas letras apresentadas em suas faces. Se jogarmos esse dado duas vezes no chão e observarmos o que apareceu na face superior, qual é a probabilidade de obtermos duas letras iguais, porém em faces de cores distintas? DICA [tex]\rhd[/tex] Tente dividir …

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Sala Nova

 

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Segredos de um Cadeado

PROBLEMA Um cadeado com segredo possui três engrenagens, cada uma contendo todos os dígitos de [tex]0[/tex] a [tex]9[/tex]. Para abrir esse cadeado, os dígitos do segredo devem ser colocados numa sequência correta, escolhendo-se um dígito em cada engrenagem. (Exemplos: [tex] 237[/tex], [tex]366[/tex], [tex]593\cdots[/tex]) [tex]a)[/tex] Quantas possibilidades diferentes existem para a escolha do segredo, sabendo que …

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Contando polígonos no eneágono

PROBLEMA Quantos polígonos convexos se pode formar de modo que seus vértices sejam vértices do eneágono abaixo? DICA Para sabermos quantos polígonos de [tex]n[/tex] ([tex]n\le9[/tex]) vértices existem de modo que os vértices são vértices do eneágono, basta sabermos qual o total de maneiras de escolhermos [tex]n[/tex] vértices dentre os [tex]9[/tex] do eneágono. Reúnam seus Clubes …

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Problema 461: Vértices de triângulos

Seis triângulos foram desenhados e coloridos conforme mostra a figura abaixo. Distribua os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9 nos círculos que foram colocados sobre os vértices dos triângulos, de modo que as somas dos números colocados nos três vértices de cada triângulo colorido sejam iguais. De quantas maneiras …

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