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Bruno Ribeiro

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Uma prova diferente

PROBLEMA Prove, por argumentos combinatórios, que: [tex]{\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right)}^{2}+{\left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right)}^{2}+{\left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right)}^{2}+\dots +{\left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array} \right)}^{2}+ {\left( \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right)}^{2}={\left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right)}[/tex], sendo [tex]n\ge 0[/tex] um número inteiro. DICA Pense em um …

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Troca de celulares

PROBLEMA Bruno viaja com sua esposa e seus três filhos para o Nordeste brasileiro na intenção de curtir o feriadão. No trajeto decidem parar num restaurante e fazer uma refeição. Todos possuem o mesmo modelo de aparelho celular e no restaurante deixam todos guardados na mochila de um dos filhos. Terminada a refeição, cada familiar …

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Equação do volume

PROBLEMA O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a seguinte equação: [tex]V=10-|4-2t|-|2t-6|[/tex], com [tex]t\in\mathbb{R_{+}}[/tex]. Nela, [tex]V[/tex] é o volume medido em metros cúbicos após [tex]t[/tex] horas, contadas no intervalo de [tex]8[/tex] às [tex]13[/tex] horas de uma manhã . Quais os horários (inicial e final) dessa manhã em que …

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Volume complicado

PROBLEMA Seja [tex]ABCDEF[/tex] um hexágono regular inscrito numa circunferência de centro [tex]O[/tex] e raio [tex]6[/tex] cm. Considere a região interior à circunferência e exterior ao hexágono. Determine o volume gerado pela rotação completa dessa região em torno do eixo que passa pelos pontos [tex]A[/tex] e [tex]D[/tex]. DICA Qual seria o volume gerado pela região interior …

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Lado do dodecágono

PROBLEMA Seja [tex]ABCDEFGHIJKL[/tex] um dodecágono regular inscrito numa circunferência de centro [tex]O[/tex] e raio [tex]6[/tex] cm. Mostre que o lado desse dodecágono mede [tex]3\cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})[/tex] cm. DICA Pode ser interessante usar a Lei dos Cossenos no triângulo determinado pelo centro da circunferência e quaisquer dois vértices consecutivos do dodecágono. Reúnam seus Clubes e tentem resolver …

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Perdido na caverna

PROBLEMA Bruno está perdido no interior de uma assombrosa caverna. Olhando um mapa, encontra três passagens, como mostra a imagem abaixo: Para seu desespero, está escrito no mapa que caso uma pessoa entre numa passagem onde não esteja a saída não conseguirá voltar, e acima de cada uma das três passagens possui, além da numeração, …

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Contando polígonos no eneágono

PROBLEMA Quantos polígonos convexos se pode formar de modo que seus vértices sejam vértices do eneágono abaixo? DICA Para sabermos quantos polígonos de [tex]n[/tex] ([tex]n\le9[/tex]) vértices existem de modo que os vértices são vértices do eneágono, basta sabermos qual o total de maneiras de escolhermos [tex]n[/tex] vértices dentre os [tex]9[/tex] do eneágono. Reúnam seus Clubes …

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