Câmbio intergaláctico

PROBLEMA Na Edição 14 da revista Disney Big (2012), a história A Conquista Planetária narra a viagem de Donald a um novo planeta. No quadrinho 3 das páginas exibidas, o extraterreste dá o preço de 100 créditos para o conserto da nave de Donald. Em seguida, faz um desconto e dá o novo preço, desta …

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Ali Babão e a Trigésima Segunda de suas 40 Equações

PROBLEMA Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] reais positivos tais que [tex]x ^ 3 + y ^ 3 + (x + y) ^ 3 + 30xy = 2000[/tex]. Mostre que [tex] x + y = 10 [/tex]. DICA Uma ideia é encontrar uma fatoração adequada. Como dica inicial, procure somar e subtrair [tex]3x^2y+3xy^2[/tex], rearranjando os termos. Reúnam …

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Facilitando o câmbio

PROBLEMA Em março de 2014, a Nova Zelândia e a China negociaram um acordo para permitir a troca direta entre suas duas moedas (NZ$, o Dólar neozelandês, e CNY, o Yuan chinês). Isso removeu a necessidade de usar na etapa intermediária a troca em US$. Use as taxas de câmbio abaixo para calcular a porcentagem …

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Dia 6 de maio – Dia Nacional da Matemática

A Equipe dos Clubes de Matemática da OBMEP lhe deseja um Feliz Dia da Matemática! Em 6 de maio comemora-se, no Brasil, o Dia Nacional da Matemática, data escolhida por ser o dia do nascimento do professor Júlio Cesar de Mello e Souza (1895-1974). Muito conhecido pelo seu pseudônimo Malba Tahan, seu livro mais famoso …

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Área no radar

PROBLEMA Um jogo apresenta, em parte da tela, um radar térmico que, na cor cinza, indica a região de uma floresta em chamas. Nesse radar, as circunferências são concêntricas em [tex]O[/tex], e as medidas de seus raios estão indicadas na imagem. Há também seis retas que passam pelo ponto [tex]O[/tex] e dividem as circunferências em …

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O troco do pipoqueiro

PROBLEMA Um pipoqueiro cobra o valor de [tex]R\$\;1,00[/tex] por saco de pipoca. Ele começa seu trabalho sem qualquer dinheiro para troco. Existem oito pessoas na fila do pipoqueiro, das quais quatro têm uma moeda de [tex]R\$\; 1,00[/tex] e quatro uma nota de [tex]R\$\;2,00[/tex]. Supondo uma arrumação aleatória para a fila formada pelas oito pessoas e …

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Ali Babão e a Trigésima Primeira de suas 40 Equações

PROBLEMA Resolva a equação [tex]4x^{4}-ax^{3}+bx^{2}-cx+5=0[/tex], sabendo que todas as raízes [tex]x_{1}, x_{2}, x_{3} [/tex] e [tex] x_{4}[/tex] são reais e positivas e que [tex]\dfrac{x_{1}}{2}+\dfrac{x_{2}}{4}+\dfrac{x_{3}}{5}+\dfrac{x_{4}}{8}=1[/tex]. DICA Utilizando as relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica (relações de Girard) é possível calcular o valor do produto [tex]\dfrac{x_{1}}{2}\cdot\dfrac{x_{2}}{4}\cdot\dfrac{x_{3}}{5}\cdot\dfrac{x_{4}}{8}.[/tex]Depois, compare esse resultado com o valor …

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Apostas esportivas

PROBLEMA As apostas esportivas adquiriram bastante popularidade recentemente. Na tabela a seguir vemos algumas informações de quatro casas de apostas diferentes relacionadas ao resultado de um jogo de futebol entre Real Madrid e Barcelona, com o Real Madrid jogando em casa, ou seja, como mandante do jogo. [tex]\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \mathrm{Real \ Madrid \ x \ Barcelona} …

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Prêmio

PROBLEMA Duas pessoas disputarão um prêmio da seguinte maneira: em uma urna serão colocadas nove bolas vermelhas e uma azul. Cada um dos participantes retira, alternadamente, uma destas bolas. Se a bola retirada for vermelha ela será inserida novamente na urna e será a vez do outro participante retirar uma bola. Quem retirar a bola …

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Funções pares e ímpares

PROBLEMA Uma função [tex]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] é dita ser par se [tex]f(-x)=f(x)[/tex], para todo valor de [tex]x[/tex], e ímpar se [tex]f(-x)=-f(x)[/tex], para todo valor de [tex]x[/tex]. Mostre que qualquer função [tex]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar. DICA Estude a paridade das funções …

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