Quem andou mais?

PROBLEMA Compridas ruas retas ligam as casas dos amigos Bruno, Francimar e Robério. Francimar, em sua caminhada matinal, saiu de sua casa e andou até a casa de Bruno. Então, prosseguiu para a casa de Robério e depois voltou para sua casa. Robério, muito concentrado com um problema de matemática, foi até a casa de …

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Bagagens

PROBLEMA As companhias aéreas permitem aos passageiros despacharem suas bagagens nas seguintes condições: cada companhia estabelece um limite de peso que cada passageiro pode transportar sem custo adicional. Caso o peso total da bagagem exceda o limite estabelecido, o passageiro deverá então pagar uma taxa adicional para despachar suas bagagens. Esta taxa adicional é um …

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O engano de Laila

PROBLEMA Para resolver a equação [tex]36x^2 -12x +1 = 6x -1[/tex], Laila, uma aprendiz do matemático Beremiz, transformou a equação em [tex](6x -1)^2 = 6x -1[/tex], e daí para [tex] 6x -1 = 1[/tex], de onde concluiu que a solução da equação original é [tex]x = 2/6=1/3[/tex]. Beremiz a alertou para um erro de raciocínio …

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Segmento MC

PROBLEMA Na figura abaixo, temos duas semirretas com origem em [tex]O[/tex] tangentes à circunferência nos pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex]. Calcule a medida do segmento [tex]\overline{MC}[/tex], sendo [tex]M[/tex] um ponto da circunferência, [tex]MN=2\; cm[/tex] e [tex]MP=4,5\;cm[/tex]. DICA Ligue [tex]M[/tex] aos pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] de modo a encontrar triângulos semelhantes. Que tal relembrar o conteúdo de …

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Divisibilidade por 3

PROBLEMA Mostre que para qualquer número inteiro [tex]n[/tex] a expressão [tex]n^{3}+3n^{2}+5n+3[/tex] sempre será divisível por [tex]3[/tex]. DICA Reescreva a expressão como uma soma de parcelas que sejam separadamente divisíveis por [tex]3[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 25.02.2021, deem …

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Hora e dia

PROBLEMA Você sabia que nem todos os países utilizam o mesmo horário? Por exemplo, hoje, [tex]22[/tex] de fevereiro de [tex]2021[/tex], quando em Brasília for [tex]14:00[/tex], será [tex]2:00[/tex] do dia [tex]23[/tex] de fevereiro de [tex]2021[/tex] em Tóquio. Por isso, existem os fusos horários, que indicam como calcular a hora. Por exemplo, a diferença de horário entre …

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Sistema Elo

PROBLEMA O Sistema Elo é um método utilizado para se calcular a força de um jogador de xadrez, tênis, etc., em relação a outros jogadores. Foi inventado pelo físico americano Arpad Elo. Neste sistema, dados dois jogadores [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], com forças medidas pelos números [tex]R_A[/tex] e [tex]R_B[/tex], respectivamente, o número [tex]E_{AB}[/tex], dado por [tex]E_{AB}=\dfrac{1}{1+10^{R_B-R_A}},[/tex] …

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Grupo de Trabalho

PROBLEMA Três homens, [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] , trabalhando juntos, realizam uma tarefa em [tex]x[/tex] horas. Se trabalhassem sozinhos, [tex]A[/tex] executaria a tarefa em [tex]x+1[/tex] horas; [tex]B[/tex], em [tex]x + 6 [/tex] horas; [tex]C[/tex], em [tex]2x[/tex] horas. Calcule [tex]x[/tex]. DICA Procure por expressões que forneçam a fração da tarefa que estes homens realizam em uma …

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Remédios

PROBLEMA Um frasco do medicamento [tex]A[/tex] tem [tex]153[/tex] comprimidos e um frasco do medicamento [tex]B[/tex] tem [tex]192[/tex] comprimidos. José do Ença deve tomar [tex]4[/tex] comprimidos por dia do medicamento [tex]A [/tex] e [tex]3[/tex] por dia do [tex]B[/tex], em dias alternados, iniciando pelo [tex]A[/tex], ou seja, ele tomará [tex]4[/tex] comprimidos do[tex] A[/tex] no primeiro dia, [tex]3[/tex] …

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Identidade de Catalan

PROBLEMA a) Prove a identidade de Catalan [tex]x \cdot (x-3 \cdot (y+z))^2+(y+z) \cdot (3x-(y+z))^2=(x+y+z)^3.[/tex] b) Podemos escrever [tex]14[/tex] como a soma de três quadrados de naturais; de fato, [tex]14=3^2+2^2+1^2[/tex]. É fácil verificar que essa é a única maneira de escrever [tex]14[/tex] como soma de três quadrados. Mostre como escrever [tex]14^3[/tex] de três maneiras distintas como …

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