Considere a sequência [tex]\left(a_1,a_2,a_3,~\cdots, ~a_{2019},~\cdots\right) [/tex] de números naturais assim definida: [tex]\qquad \begin{cases} a_1=3\\ a_{n+1} = a_n + a_n^2, \text{ para } n \gt 1 \end{cases}~~~\\ ~~[/tex]. Determine os dois últimos algarismos do termo [tex]a_{2019}[/tex] dessa sequência. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso …
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maio 21
Menor valor
Sejam [tex]~x~[/tex] e [tex]~y~[/tex] números reais tais que [tex] 2x+5y=10[/tex]. Qual é o menor valor que a expressão [tex]x^2+y^2[/tex] pode assumir? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico deste problema e postem lá as …
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maio 21
Um perímetro vermelho
A partir de cinco quadrados de lados com comprimentos de [tex]1~cm[/tex] foi construído o polígono na forma de cruz mostrado na Figura 1. Esse polígono foi rotacionado em torno de seu centro, segundo um ângulo de [tex]45^\circ[/tex] , resultando na Figura 2. Parte dessa figura foi colorida de vermelho e destacada como Figura 3. Calcule …
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maio 21
Uma carta do baralho
Uma carta foi retirada de um baralho completo. Qual a probabilidade de essa carta ser um Rei ou uma carta de ouros? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico deste problema e postem lá …
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maio 20
Paralelepípedo Reto-Retângulo
Considere o paralelepípedo reto-retângulo de dimensões [tex]a, b[/tex] e [tex]c[/tex], ilustrado na figura. Calcule os valores das dimensões [tex]a, b[/tex] e [tex]c[/tex] e do seu volume, sabendo que a soma de suas dimensões é [tex]45\;cm[/tex], que a sua diagonal da base mede [tex]25\;cm[/tex] e sua área total é igual a [tex]1300\;cm^2[/tex]. Reúnam seus Clubes e …
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maio 20
Calcule o valor
Considere a função[tex] f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] que satisfaz as seguintes condições: [tex](i)\; f(x)\cdot f(y)=f(x+y), \forall x,y \in \mathbb{R}[/tex]; [tex](ii)\; f(1)=2[/tex]; [tex](iii)\; f(\sqrt{2})=4[/tex]. Calcule o valor de [tex]f(3+\sqrt{2})[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 23, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas …
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maio 20
Cofre
As irmãs Rafaela e Roberta, depois de um ano de economia de suas moedas, resolveram quebrar o seu cofre de porquinho. Verificaram que possuíam um total de [tex]200[/tex] moedas. Destas moedas, [tex] \dfrac{1}{4}[/tex] eram moedas de [tex]5[/tex] centavos, [tex]20\%[/tex] eram moedas de [tex]1[/tex] real, a quantidade de moedas de [tex]50[/tex] centavos era o dobro da …
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maio 14
Duas rosquinhas
A figura a seguir mostra duas circunferências concêntricas, uma de raio [tex]4~cm[/tex] e outra de raio [tex]6~cm[/tex], e dois diâmetros perpendiculares entre si. Essa figura foi colorida e recortada adequadamente, de modo a formar as duas “rosquinhas” mostradas na figura abaixo. Qual a medida da área de cada “rosquinha”? Reúnam seus Clubes e tentem resolver …
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maio 14
Uma área colorida no interior de um quadrado
No interior de um quadrado de lados com comprimento [tex]6~cm[/tex], foi feito o desenho colorido mostrado na imagem abaixo. A região colorida foi traçada a partir de arcos de circunferências com centros nos vértices do quadrado, todos passando pelo centro do quadrado. Qual a medida da área colorida? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o …
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maio 14
Mais um problema de idades
Daniel, Gabriel e Rafael são irmãos. Em 2015, a idade de Rafael era o dobro da idade de Daniel e atualmente, em 2019, a soma das idades de Gabriel e Rafael é o triplo da idade de Daniel. Sabe-se que, quando Gabriel nasceu, Rafael tinha dois anos. Em que ano a soma das idades dos …
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