Novas soluções

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Triângulo dentro de triângulo

Todos os triângulos da figura abaixo são equiláteros, sendo que o perímetro do triângulo maior é [tex]180\, cm[/tex]. Qual é o perímetro do triângulo colorido? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico deste problema …

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Distância entre pontos de tangência – um desafio

As circunferências de centro [tex]C_1[/tex] e [tex]C_2[/tex] mostradas na figura têm raios com comprimentos [tex]3\, cm[/tex] e [tex]5\, cm[/tex], respectivamente, são tangentes exteriores e as retas tangentes a ambas se intersectam no ponto [tex]P.[/tex] [/size] Observando que os pontos [tex]P[/tex], [tex]C_1[/tex] e [tex]C_2[/tex] são colineares, calcule a distância entre os pontos de tangência [tex]T_1[/tex] e …

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Expoente do 79

Qual é o expoente de [tex]79[/tex] na fatoração em primos do número [tex]\qquad \qquad \boxed{P=1 \times 2 \times 3 \times ~ \cdots~\times 2018 \times 2019}[/tex], resultado do produto dos números inteiros de [tex]1[/tex] a [tex]2019[/tex]? E qual o expoente de [tex]29[/tex]? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz …

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As economias de duas irmãs

Faz algum tempo que as irmãs Rosa e Ester estão guardando suas respectivas mesadas para trocarem de celular. Hoje elas fizeram algumas simulações e perceberam que: se Rosa emprestasse à Ester a terça parte do que tem guardado, Ester ficaria com[tex] R\$~270,00[/tex] a mais do que restaria para Rosa; mas, se Ester emprestasse à Rosa …

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Diferença entre quadrados.

Considere um número inteiro positivo de [tex]4[/tex] algarismos que é um quadrado perfeito. Constrói-se outro número somando uma unidade ao seu algarismo das unidades, subtraindo uma unidade do algarismo das dezenas, somando uma unidade ao algarismo das centenas e subtraindo uma unidade do algarismo das unidades de milhar. Se o número que se obtém também …

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Probleminha: Quantidade de zeros.

Considere o número [tex]8^{673} \cdot 625^{505}[/tex]. Quantos zeros aparecem em sua representação decimal? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 18, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido o problema, postem …

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Múltiplos de 3

Quantos números múltiplos de 3, de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos [tex]2, 3, 6, 7\ e\ 9[/tex]? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 18, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela …

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Uma soma de frações – um desafio

Os números reais não nulos [tex]x,y~[/tex] e [tex]~z[/tex] cuja soma [tex]x+y+z~[/tex] é também não nula satisfazem à seguinte igualdade: [tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}.[/tex] O que podemos afirmar com respeito à soma [tex] \qquad \qquad \boxed{\dfrac{1}{x^{2019}}+\dfrac{1}{y^{2019}}+\dfrac{1}{z^{2019}} }[/tex] ? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum …

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Maior e menor

Qual o maior inteiro [tex]x[/tex] que satisfaz simultaneamente as duas desigualdades do sistema abaixo? E o menor? [tex]~\qquad \qquad \begin{cases} 10(x+1) \leq 6(2x+1)-x\\ 4(x-10)+6x \lt -6(2-x) \end{cases}[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico …

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