PROBLEMA Um monte de [tex]29[/tex] palitos está sobre uma mesa. Fábio e Antônio realizam o seguinte jogo: “Em cada jogada é permitido retirar um ou dois palitos do monte. Perde o jogo quem ficar sem jogada, isto é, na sua vez de jogar não houver mais palitos.” Qual a estratégia para Fábio ganhar, se é …
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ago 10
Um Lindo Produto
PROBLEMA Mostre que o produto [tex]\left(1+\dfrac{1}{a}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^2}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^4}\right) \cdots \left(1+\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\right)[/tex], onde [tex]a[/tex] é um número Real não nulo, resulta em [tex]\dfrac{ 1-\dfrac{1}{a^{2^{101}}}}{1-\dfrac{1}{a}}[/tex]. DICA Se multiplicar a expressão por [tex]\left(1-\dfrac{1}{a}\right)[/tex], você poderá utilizar um conhecido produto notável repetidas vezes! Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não …
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ago 10
Água no Barril
PROBLEMA Quando um barril cheio de água é esvaziado em [tex]30 \%[/tex], passa a conter [tex]30[/tex] litros a mais do que quando é enchido até [tex]30 \%[/tex] de sua capacidade. Quantos litros de água contém o barril quando ele está totalmente cheio? DICA Se o barril cheio é esvaziado em [tex]30 \%[/tex], com qual capacidade …
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ago 03
Volume complicado
PROBLEMA Seja [tex]ABCDEF[/tex] um hexágono regular inscrito numa circunferência de centro [tex]O[/tex] e raio [tex]6[/tex] cm. Considere a região interior à circunferência e exterior ao hexágono. Determine o volume gerado pela rotação completa dessa região em torno do eixo que passa pelos pontos [tex]A[/tex] e [tex]D[/tex]. DICA Qual seria o volume gerado pela região interior …
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ago 03
Lado do dodecágono
PROBLEMA Seja [tex]ABCDEFGHIJKL[/tex] um dodecágono regular inscrito numa circunferência de centro [tex]O[/tex] e raio [tex]6[/tex] cm. Mostre que o lado desse dodecágono mede [tex]3\cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})[/tex] cm. DICA Pode ser interessante usar a Lei dos Cossenos no triângulo determinado pelo centro da circunferência e quaisquer dois vértices consecutivos do dodecágono. Reúnam seus Clubes e tentem resolver …
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ago 03
Perdido na caverna
PROBLEMA Bruno está perdido no interior de uma assombrosa caverna. Olhando um mapa, encontra três passagens, como mostra a imagem abaixo: Para seu desespero, está escrito no mapa que caso uma pessoa entre numa passagem onde não esteja a saída não conseguirá voltar, e acima de cada uma das três passagens possui, além da numeração, …
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jul 27
Segredos de um Cadeado
PROBLEMA Um cadeado com segredo possui três engrenagens, cada uma contendo todos os dígitos de [tex]0[/tex] a [tex]9[/tex]. Para abrir esse cadeado, os dígitos do segredo devem ser colocados numa sequência correta, escolhendo-se um dígito em cada engrenagem. (Exemplos: [tex] 237[/tex], [tex]366[/tex], [tex]593\cdots[/tex]) [tex]a)[/tex] Quantas possibilidades diferentes existem para a escolha do segredo, sabendo que …
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jul 27
Áreas do Quadrados
PROBLEMA A soma das áreas dos três quadrados indicados na figura é igual a [tex]83\;cm^2[/tex]. Calcule a área do quadrado maior. DICA Se [tex]x[/tex] é o lado do quadrado menor, quais são as medidas dos lados dos outros dois quadrados? Quanto valem suas áreas? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica …
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jul 27
Ali Babão e vigésima sétima de suas 40 equações
PROBLEMA Encontre as soluções reais da equação [tex]\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}=\sqrt{x+3}.[/tex] DICA Elevar ao quadrado e ter atenção às continhas são as dicas da vez para tornar a equação um pouco mais “simples”. Não deixe de tirar a prova das soluções! Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: …
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