dez 12

Problemas para ajudar na escola

  Como as escolas estão entrando em recesso, as postagens dos

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dez 11

Álgebra de matrizes

Sejam [tex]X=\left(\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right)[/tex] uma matriz quadrada de tamanho [tex]2\times 2[/tex], [tex]t(X)=x_1+x_4[/tex] o traço de [tex]X[/tex] e [tex]D(X)=x_1x_4-x_3x_2[/tex] o determinante de [tex]X[/tex]. Considerando [tex]s=\sqrt{D(X)}[/tex] e [tex]t=\sqrt{t(X)+2s}[/tex] prove que: (a) Se [tex]t\neq 0[/tex] então a matriz [tex]R[/tex], dada por [tex]R=\dfrac{1}{t}\left(\begin{array}{cc} x_1+s & x_2 \\ x_3 & x_4+s \end{array}\right)[/tex], é uma …

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dez 11

Conjunto representante

Seja [tex]A[/tex] um subconjunto dos números naturais positivos com [tex]5[/tex] elementos. Dizemos que [tex]A[/tex] representa um número inteiro [tex]n[/tex] se [tex]n[/tex] puder ser escrito como uma soma de elementos de [tex]A[/tex] com todos as parcelas distintas entre si. Se [tex]A[/tex] representa exatamente [tex]25[/tex] números naturais então prove que existe pelo menos um número natural [tex]n[/tex] …

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dez 11

Campeonato de futebol

Um campeonato de futebol será disputado por cinco equipes [tex]A, B, C, D[/tex] e [tex]E[/tex] com as seguintes regras de pontuação: uma vitória vale [tex]3[/tex] pontos, um empate vale [tex]1[/tex] ponto e derrotas não contabilizam pontos. Sabendo-se que cada equipe jogará com as outras exatamente uma vez, responda: (a) Se não houver empates, qual será …

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dez 05

Cinco letras e dois números

As letras [tex]A[/tex] , [tex]B[/tex] , [tex]C[/tex] , [tex]D[/tex] , [tex]E[/tex] correspondem a algarismos distintos e definem os números [tex]\textcolor{red}{ABB}~[/tex] e [tex]~\textcolor{blue}{CBDEA}~[/tex] que satisfazem a seguinte igualdade: [tex]\qquad \qquad \textcolor{red}{ABB}^{\,2}=\textcolor{blue}{CBDEA}.[/tex] Qual o valor de cada uma dessas cinco letras? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem …

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dez 05

Torneio de xadrez

A final do torneio de xadrez de uma escola foi entre as equipes “Torre Alta” e “Cavalo Veloz” e dessa final participaram [tex]28[/tex] alunos. Terminados os jogos finais, foi perguntado aos alunos da equipe “Torre Alta” com quantos alunos da equipe “Cavalo Veloz” cada um tinha jogado. O primeiro respondeu que jogou com cinco adversários; …

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dez 05

Os m’s

Seja [tex]g[/tex] uma função tal que [tex]\qquad \qquad g\left(\dfrac{x}{2} \right)=x^2-x-\dfrac{7}{9}, \forall x \in \mathbb{R}[/tex]. Qual a soma de todos os números reais [tex]~m~[/tex] para os quais [tex]g\left(\dfrac{m}{2} \right)=-1[/tex]? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo …

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dez 05

Mapa do tesouro

Rafinha encontrou um mapa do tesouro com as seguintes instruções: Em linha reta, a quantos passos do ponto inicial está o tesouro? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico deste problema e postem lá …

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dez 05

Novas soluções

 

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dez 04

Idade dos jovens

O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição das idades dos jovens presentes em um Encontro Olímpico de Matemática. a) Mostre que, nesse grupo, a idade média dos homens é igual à idade média das mulheres. b) Escolhendo ao acaso um homem e uma mulher desse grupo, determine a probabilidade de que a soma das …

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