Categoria: Álgebra e números reais

A água do queijo

PROBLEMA O rótulo de uma embalagem de queijo cremoso indica que o mesmo contém 24% de gordura. O mesmo rótulo diz também que há 64% de gordura na parte sólida do queijo (o que sobra após a desidratação). Qual é a porcentagem de água no queijo? DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Se [tex]x\%[/tex] do queijo é parte sólida, …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/07/a-agua-do-queijo/

Sequência

PROBLEMA Calcule o [tex]131^\circ[/tex] termo da sequência [tex]1, 2, 7, 8, 13, 14, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 37, 38, 43, 44, 49, 50, \dots[/tex] DICA Preste atenção especial às duas sequências formadas pelos termos alternados, isto é, àquela dos [tex]\textcolor{blue}{\text{termos de ordem ímpar}}[/tex] (índice ímpar) e àquela dos [tex]\textcolor{red}{\text{termos de ordem par}}[/tex] (índice …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/07/sequencia/

Um sistema diferente

PROBLEMA Determine os pares ordenados de números reais positivos que satisfazem o seguinte sistema de equações: [tex] \begin{cases} x^{x+y}=y^3\\ y^{x+y}=x^6\,y^3 \end{cases}\,[/tex]. DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Qual informação importante podemos obter multiplicando as duas equações? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente e vocês não conseguirem, não faz mal: visitem o …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/07/um-sistema-diferente/

Fração trigonométrica

PROBLEMA Seja [tex]\theta[/tex] um ângulo agudo tal que [tex]\qquad A=\dfrac{2sen^3\theta\cdot cos\,\theta}{sen\,\theta+cos\,\theta-1}+\dfrac{2cos^3\theta\cdot sen\,\theta}{sen\,\theta+cos\,\theta+1}[/tex] e [tex]\qquad B=cos\,\theta\left(1+cos\,\theta\right)+sen\,\theta\left(1+sen\,\theta\right)-1\,[/tex]. Verifique que [tex]\boxed{\dfrac{A}{B}=1+sen~\theta-cos~\theta}[/tex] DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Na representação de [tex]A[/tex], tente somar as frações a fim de torná-la mais simples. A expressão que representa [tex]B[/tex] também pode ser simplificada. Não esqueçam que [tex]sen^2~\theta+cos^2~\theta = 1.[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/07/fracao-trigonometrica/

Ali Babão e a vigésima sexta de suas 40 equações

PROBLEMA Resolva nos reais a equação [tex]x^{2}+4xcos(xy)+4=0[/tex]. DICA Use completamento de quadrado a fim de encontrar um trinômio quadrado perfeito envolvendo [tex]cos ~(xy)[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 09/07/2020, deem uma passadinha na Sala Problemas 2020: Dicas e …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/07/ali-babao-e-a-vigesima-sexta-de-suas-40-equacoes/

Ali Babão e a vigésima quinta de suas 40 equações

PROBLEMA Para que valores reais [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] a igualdade [tex]5x^{2}+5y^{2}+8xy+2y-2x+2=0[/tex] existe? DICA O que acha de tentar escrever o primeiro membro da equação como soma de quadrados perfeitos? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 09/07/2020, deem uma passadinha …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/07/ali-babao-e-a-vigesima-quinta-de-suas-40-equacoes/

Um passeio de bicicleta

PROBLEMA Uma ciclista saiu de sua casa para um passeio de bicicleta até a chácara de sua avó. Depois de percorrer um terço do trajeto, parou para comer uma fruta. Se nesse momento ela ainda tinha treze quilômetros para percorrer até a metade do caminho, quantos quilômetros a ciclista percorreu no trajeto todo, desde que …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/06/um-passeio-de-bicicleta/

Um cálculo estranho

PROBLEMA Se , calcule . DICA Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente e vocês não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala Problemas 2020: Dicas e Dúvidas, procurem pelo tópico deste problema e postem lá as suas dúvidas. Os nossos Moderadores com …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/06/um-calculo-estranho/

Múltiplo de 99

PROBLEMA Qual é o menor múltiplo de [tex]99[/tex] que começa e termina com [tex]97[/tex]? DICA Como o número procurado deve ser divisível por [tex]99[/tex], então deve ser divisível por [tex]9[/tex] e também por [tex]11[/tex]! Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/06/multiplo-de-99/

Um quadrado dividido em quadradinhos

PROBLEMA Um quadrado de área S foi dividido em 102 quadradinhos, dos quais 101 têm lados com comprimentos 1 cm. Determine todos os valores possíveis para a área S . DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Observe que [tex]S = x^2[/tex], onde [tex]x[/tex] é um número inteiro positivo. Atentem para o fato de que a soma das áreas dos …

Continue lendo

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2020/06/um-quadrado-dividido-em-quadradinhos/