Categoria: Álgebra e números reais

As economias de duas irmãs

Faz algum tempo que as irmãs Rosa e Ester estão guardando suas respectivas mesadas para trocarem de celular. Hoje elas fizeram algumas simulações e perceberam que: se Rosa emprestasse à Ester a terça parte do que tem guardado, Ester ficaria com[tex] R\$~270,00[/tex] a mais do que restaria para Rosa; mas, se Ester emprestasse à Rosa …

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Uma soma de frações – um desafio

Os números reais não nulos [tex]x,y~[/tex] e [tex]~z[/tex] cuja soma [tex]x+y+z~[/tex] é também não nula satisfazem à seguinte igualdade: [tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}.[/tex] O que podemos afirmar com respeito à soma [tex] \qquad \qquad \boxed{\dfrac{1}{x^{2019}}+\dfrac{1}{y^{2019}}+\dfrac{1}{z^{2019}} }[/tex] ? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum …

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Maior e menor

Qual o maior inteiro [tex]x[/tex] que satisfaz simultaneamente as duas desigualdades do sistema abaixo? E o menor? [tex]~\qquad \qquad \begin{cases} 10(x+1) \leq 6(2x+1)-x\\ 4(x-10)+6x \lt -6(2-x) \end{cases}[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico …

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Uma torneira pingando

Alguém utilizou a pia do banheiro de uma escola e não fechou adequadamente a torneira. Essa torneira ficou pingando das 18 horas até às 7 da manhã do dia seguinte, despejando na pia cerca de [tex]280[/tex] gotas de água por minuto. Sabendo que [tex]20[/tex] gotas equivalem a [tex]1 ~ml[/tex] de água: (a) determine quantos litros …

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Um encontro…

A distância entre as rodoviárias das cidades [tex]C_1[/tex] e [tex]C_2[/tex] é de [tex] 350 ~km[/tex]. Às [tex]6[/tex] horas da manhã, parte da rodoviária da cidade [tex]C_1[/tex] um ônibus com destino à rodoviária da cidade [tex]C_2[/tex], e parte da rodoviária da cidade [tex]C_2[/tex] um outro ônibus com destino à rodoviária da cidade [tex]C_1[/tex]. Esses ônibus vão …

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Um teste

O professor Renato aplicou um teste com [tex] 60[/tex] questões e atribuiu [tex](3)[/tex] pontos para cada resposta correta e [tex] (-1) [/tex] para cada resposta errada. O número de acertos da aluna Mari foi igual ao número de erros do aluno José e o número de acertos de José foi igual ao número de erros …

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Latas de refrigerantes

Três amigos, Edgard, Max e Ronaldo, saíram juntos para comer e beber no sábado e domingo. Vendo a necessidade de organizar a despesa e o consumo de refrigerante que tiveram, utilizaram o critério matricial. Considere as matrizes abaixo: \begin{equation} A=\left[ \begin{array}{c c c} 1&2& 2\\ 1&0& 1\\ 1&1&1 \end{array}\right]\;\mbox{e}\; B=\left[ \begin{array}{c c c} 3&2& 1\\ …

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Uma experiência

Em experiências feitas com um ratinho em um laboratório, uma equipe percebeu que, quanto mais o bichinho percorria um labirinto, menos tempo ele levava para fazer o percurso. A equipe concluiu que, a cada conjunto de tentativas de percorrer o labirinto, o tempo em minutos que o ratinho levava na n-ésima tentativa era dado pela …

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Um triângulo, suas alturas e as raízes de uma equação cúbica.

Os comprimentos das alturas do [tex]\triangle ABC[/tex] são as três soluções da equação cúbica [tex]x^3+kx^2+ lx-m=0[/tex]. Determine o raio do círculo inscrito no [tex]\triangle ABC[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 21, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do …

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Vai uma “média” aí?

Dona Nilza serve uma deliciosa “média” aos funcionários da empresa onde trabalha. Cada 220 ml desse “café com leite” tem 60% de leite e 40% de café e é servido em xícaras de 240 ml. A funcionária Maria Clara pediu uma “média”. Mas, depois de ser servida, Maria Clara pediu para Dona Nilza acrescentar um …

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