Categoria: Álgebra e números reais

Xadrez

PROBLEMA Uma das modalidades de controle de tempo no jogo de xadrez é o 15|10, no qual cada jogador tem 15 minutos, mais 10 segundos de tempo adicional por cada lance realizado durante a partida. Se um jogador fizer um lance a cada 25 segundos, qual será o número máximo de lances que ele poderá …

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Esferas e Paralelepípedos

PROBLEMA Dois paralelepípedos idênticos e dezesseis esferas idênticas equilibram uma balança de dois pratos como mostra a figura. Quantas esferas são necessárias para equilibrar apenas um dos paralelepípedos? DICA Tente remover objetos de ambos os lados da balança sempre mantendo o equilíbrio. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for …

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Custo de uma Corrida

PROBLEMA O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial [tex]Q_0[/tex], fixo, mais um valor que varia proporcionalmente à distância percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos [tex]7[/tex] km, a quantia cobrada foi de [tex]R\$\ 16,00[/tex], e que em outra corrida, de [tex]4[/tex] km, a quantia …

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Equação do volume

PROBLEMA O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a seguinte equação: [tex]V=10-|4-2t|-|2t-6|[/tex], com [tex]t\in\mathbb{R_{+}}[/tex]. Nela, [tex]V[/tex] é o volume medido em metros cúbicos após [tex]t[/tex] horas, contadas no intervalo de [tex]8[/tex] às [tex]13[/tex] horas de uma manhã . Quais os horários (inicial e final) dessa manhã em que …

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Uma expressão em si mesma

PROBLEMA Considere que, na expressão [tex]\dfrac{x+2}{x-2}[/tex], substituímos cada [tex]x[/tex] por [tex]\dfrac{x+2}{x-2}[/tex]. Qual é o valor resultante se substituirmos, na expressão obtida, [tex]x[/tex] por [tex]\dfrac{1}{3}[/tex] ? DICA [tex]\rhd[/tex] Lembrem-se das regras para efetuar operações com frações: a) para somarmos e subtrairmos, devemos reduzir ao mesmo denominador; b) para dividirmos, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da …

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Um Lindo Produto

PROBLEMA Mostre que o produto [tex]\left(1+\dfrac{1}{a}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^2}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^4}\right) \cdots \left(1+\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\right)[/tex], onde [tex]a[/tex] é um número Real não nulo, resulta em [tex]\dfrac{ 1-\dfrac{1}{a^{2^{101}}}}{1-\dfrac{1}{a}}[/tex]. DICA Se multiplicar a expressão por [tex]\left(1-\dfrac{1}{a}\right)[/tex], você poderá utilizar um conhecido produto notável repetidas vezes! Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não …

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Áreas do Quadrados

PROBLEMA A soma das áreas dos três quadrados indicados na figura é igual a [tex]83\;cm^2[/tex]. Calcule a área do quadrado maior. DICA Se [tex]x[/tex] é o lado do quadrado menor, quais são as medidas dos lados dos outros dois quadrados? Quanto valem suas áreas? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica …

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Ali Babão e vigésima sétima de suas 40 equações

PROBLEMA Encontre as soluções reais da equação [tex]\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}=\sqrt{x+3}.[/tex] DICA Elevar ao quadrado e ter atenção às continhas são as dicas da vez para tornar a equação um pouco mais “simples”. Não deixe de tirar a prova das soluções! Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: …

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A água do queijo

PROBLEMA O rótulo de uma embalagem de queijo cremoso indica que o mesmo contém 24% de gordura. O mesmo rótulo diz também que há 64% de gordura na parte sólida do queijo (o que sobra após a desidratação). Qual é a porcentagem de água no queijo? DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Se [tex]x\%[/tex] do queijo é parte sólida, …

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Um sistema diferente

PROBLEMA Determine os pares ordenados de números reais positivos que satisfazem o seguinte sistema de equações: [tex] \begin{cases} x^{x+y}=y^3\\ y^{x+y}=x^6\,y^3 \end{cases}\,[/tex]. DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Qual informação importante podemos obter multiplicando as duas equações? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente e vocês não conseguirem, não faz mal: visitem o …

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