Categoria: Álgebra e números reais

Problema das Luzes

PROBLEMA Existe uma lei da Física que diz que a intensidade luminosa [tex]I_A[/tex], medida em candela, que uma fonte luminosa [tex]A[/tex] produz sobre um ponto [tex]Q[/tex], situado a uma distância [tex]d[/tex] de [tex]A[/tex], é diretamente proporcional à potência luminosa [tex]P[/tex] da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância [tex]d[/tex], ou seja, [tex]I_A=\dfrac{P}{d^2}[/tex]. Considerando que …

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Sisteminha

PROBLEMA Calcule os valores de [tex]x, y , u [/tex] e [tex]v[/tex] que satisfazem o sistema de quatro equações [tex]\begin{cases}x+7y+3v+5u=16\\8x+4y+6v+2u=-16\\2x+6y+4v+8u=16\\5x+3y+7v+u=-16\end{cases}.[/tex] DICA Escolha dois pares de equações e efetue a soma entre elas. Depois tente fazer algum artifício algébrico de forma a obter a solução. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica …

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Manipulação Algébrica

PROBLEMA Dados os números reais não nulos a, b e c, determine o valor da expressão [tex]\dfrac{a^5+b^5+c^5}{5} \cdot \dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^2 \cdot b^3 \cdot c^2}[/tex], de forma que se tenha [tex]a^2+b^2+c^2=a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c[/tex]. DICA Multiplique a igualdade dada por 2 em ambos os membros e procure a fatoração de …

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Um grande sistema

PROBLEMA Considere o seguinte sistema de equações lineares: [tex]\begin{cases} 6x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=10 \\x_{1} +6x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=20 \\x_{1} +x_{2}+6x_{3}+x_{4}+x_{5}=40\\x_{1} +x_{2}+x_{3}+6x_{4}+x_{5}=80 \\x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4}+6x_{5}=160 \end{cases}[/tex] Calcule o valor de [tex]7x_{1}+3x_{5}[/tex]. DICA Que tal somar todas as equações do sistema e depois comparar essa nova equação com as iniciais? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for …

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Quadrados perfeitos e progressões aritméticas

PROBLEMA Podemos observar que na progressão aritmética [tex](2,49, 96, 143, \cdots)[/tex] de primeiro termo [tex]2[/tex] e razão [tex]47[/tex] o segundo termo é um quadrado perfeito ([tex]7^2=49[/tex]). Encontre o próximo termo desta progressão aritmética que também seja um quadrado perfeito. DICA Observe que procuramos um quadrado perfeito que satisfaça a fórmula do termo geral de uma …

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Guloseimas

PROBLEMA Uma marca de guloseimas possui [tex]4[/tex] tipos de embalagens: – a embalagem A contém [tex]4[/tex] guloseimas vermelhas e [tex]4[/tex] guloseimas verdes; – a embalagem B contém [tex]2[/tex] guloseimas vermelhas e [tex]6 [/tex] guloseimas verdes; – a embalagem C contém [tex]5[/tex] guloseimas vermelhas e [tex]3[/tex] guloseimas verdes; – a embalagem D contém [tex]8[/tex] guloseimas verdes. …

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Método de Carlyle

PROBLEMA É possível resolver, no plano cartesiano, uma equação do segundo grau [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], [tex]a\neq 0[/tex], com um compasso. Basta traçar uma circunferência com centro em [tex](-b/2a, (c+a)/2a)[/tex] e passando pelo ponto [tex](0,1)[/tex]. As raízes reais da equação do segundo grau são as abscissas dos pontos de interseção desta circunferência com o eixo [tex]x[/tex]. Prove que …

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Ali Babão e a vigésima oitava de suas 40 equações

PROBLEMA Quantos pares ordenados [tex](x,y)[/tex] de números reais existem tais que [tex](2x+3y-1)^4+x^2+y^2=2xy[/tex]? DICA Passe o termo [tex]2xy[/tex] diminuindo para o primeiro membro e observe se aparece alguma expressão que pode ser fatorada. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 15 …

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Percentual de Meninas

PROBLEMA No ano passado, uma turma tinha 31 estudantes. Neste ano, o número de meninas aumentou em 20% e o número de meninos diminuiu em 25%. Como resultado, a turma deste ano tem um estudante a menos. Qual o percentual de meninas na turma deste ano? DICA Denote por x o número de meninas e …

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Mais um valor máximo

PROBLEMA Considere todos os pares de números reais [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] que satisfazem a equação [tex]x^{2}+y^{2}=8x+6y-16[/tex]. Determine o valor máximo de [tex]x^{2}+y^{2}[/tex]. DICA Interprete geometricamente a expressão [tex]x^{2}+y^{2}[/tex] e a equação [tex]x^{2}+y^{2}=8x+6y-16[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 08 …

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