Categoria: Álgebra e números reais

Menor Inteiro

Encontre o menor número inteiro [tex]n[/tex] tal que [tex]\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\lt 0,01.[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia [tex]5[/tex], próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido o problema, postem suas soluções no …

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Coleção de Selos

Glória possui uma coleção de selos e deseja guardá-los em várias caixinhas. Ela observou que armazenando os selos de [tex]12[/tex] em [tex] 12[/tex], de [tex]24[/tex] em [tex]24[/tex] ou de [tex]36[/tex] em [tex]36[/tex], sobravam sempre [tex]7[/tex] selos. Sabendo que o número de selos é maior que [tex]300[/tex] e menor que [tex]400[/tex], encontre o número de selos …

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MMC e MDC

Calcule [tex]\boxed{ \dfrac{mmc(a,b)}{mdc(a,b)}}[/tex], sabendo-se que [tex]\,\,\\ \qquad \bullet \,\, a=2^n \cdot 3^{n+1} \cdot 11[/tex] e [tex]\qquad \bullet \,\, b=2^{n+1} \cdot 3^n \cdot 5\, [/tex], para algum número natural [tex]n[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem …

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O salário de Jonas

Jonas precisou reduzir sua jornada de trabalho e, em consequência dessa redução, seu salário reduziu um sexto. Do novo salário de Jonas, 25% vai para o pagamento de impostos e, do que restar, dois quintos serão gastos com o pagamento de um empréstimo pessoal. Após isso, Jonas ficará com R$ 750,00. Assim, pergunta-se: a) Quanto …

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Repartindo a herança

Um pai deixou para seus filhos uma herança [tex] R$ \hspace{0.1cm} 1,2[/tex] milhão. Três dos filhos renunciaram suas partes e, com isso, os demais receberam um adicional de [tex] R$ \hspace{0.1cm}90 [/tex] mil. Determine quantos filhos tinha esse pai. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem …

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Ali Babão e a décima quinta de suas 40 equações

Sabendo que [tex]x,y[/tex] e [tex]z[/tex] são números reais tais que [tex]x \geqslant 1\\[/tex], [tex]y \geqslant \frac{1}{2}\\[/tex], [tex]z \geqslant \frac{3}{2}\\[/tex], encontre TODAS as soluções da equação [tex]\left(xyz\right)^2=12\left(x-1 \right)\left(2y-1 \right)\left(2z-1 \right).[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem …

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Um sistema com infinitas soluções

O sistema [tex]\qquad \qquad \begin{cases} 3ax+2by=16\\ x+2y=8 \end{cases}\\ \,[/tex] tem infinitas soluções para as variáveis [tex]x[/tex] e [tex]y.[/tex] Determinar os possíveis valores de [tex]a[/tex] e de [tex]b.[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico …

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Soma de três inversos

Sejam [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] números reais, distintos dois a dois, tais que [tex]\qquad\qquad a=\sqrt[3]{1-4b-4c}[/tex] , [tex]\qquad\qquad b=\sqrt[3]{1-4c-4a}[/tex] , [tex]\qquad \qquad c=\sqrt[3]{1-4a-4b}[/tex] . Determinar o valor da soma [tex]\,\,\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}[/tex] . Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, …

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Uma prova nada comum

[tex]1)[/tex] Prove que as raízes da equação [tex]x=\dfrac{x^2+1}{198}[/tex] estão entre [tex]\dfrac{1}{198}[/tex] e [tex]197,99494949\dots;[/tex] [tex]2)[/tex] Use o resultado anterior para provar que [tex]\sqrt{2}\lt 1,41421357.[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 21, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e …

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Pares de Meias

Pedro foi a uma loja e separou quatro pares de meias de cor preta e alguns pares de meias de cor azul. No caixa, ao efetuar o pagamento, o número de pares de meias das duas cores foi trocado e, desta forma, o valor da compra teve um acréscimo de [tex]50\%[/tex]. Determine quantos pares de …

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