Arquivo por categoria: Álgebra

dez 11

Álgebra de matrizes

Sejam [tex]X=\left(\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right)[/tex] uma matriz quadrada de tamanho [tex]2\times 2[/tex], [tex]t(X)=x_1+x_4[/tex] o traço de [tex]X[/tex] e [tex]D(X)=x_1x_4-x_3x_2[/tex] o determinante de [tex]X[/tex]. Considerando [tex]s=\sqrt{D(X)}[/tex] e [tex]t=\sqrt{t(X)+2s}[/tex] prove que: (a) Se [tex]t\neq 0[/tex] então a matriz [tex]R[/tex], dada por [tex]R=\dfrac{1}{t}\left(\begin{array}{cc} x_1+s & x_2 \\ x_3 & x_4+s \end{array}\right)[/tex], é uma …

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dez 11

Campeonato de futebol

Um campeonato de futebol será disputado por cinco equipes [tex]A, B, C, D[/tex] e [tex]E[/tex] com as seguintes regras de pontuação: uma vitória vale [tex]3[/tex] pontos, um empate vale [tex]1[/tex] ponto e derrotas não contabilizam pontos. Sabendo-se que cada equipe jogará com as outras exatamente uma vez, responda: (a) Se não houver empates, qual será …

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dez 05

Os m’s

Seja [tex]g[/tex] uma função tal que [tex]\qquad \qquad g\left(\dfrac{x}{2} \right)=x^2-x-\dfrac{7}{9}, \forall x \in \mathbb{R}[/tex]. Qual a soma de todos os números reais [tex]~m~[/tex] para os quais [tex]g\left(\dfrac{m}{2} \right)=-1[/tex]? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo …

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nov 28

O triplo da soma de duas raízes

A equação [tex]\qquad \qquad \dfrac{36^x+36}{20}=6^x[/tex] tem exatamente duas raízes reais distintas. Determine o triplo da soma dessas raízes. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico deste problema e postem lá as suas dúvidas. Os …

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nov 28

Uma área

Na figura, podemos ver três retângulos. Se os comprimentos indicados na figura estão expressos em metros, determine o valor da medida [tex]x[/tex], para que a área da região colorida seja [tex]2.072~m^2[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de …

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nov 28

Uma bola que sobe e desce…

Uma bola de tênis cai de uma altura de [tex]8[/tex] metros. Ao chocar com o chão, ela sobe e atinge uma altura de [tex]60\%[/tex] da altura da qual ela caiu anteriormente. Esse movimento é repetido, até a bola permanecer no chão e não mais subir. (a) Que altura a bola atinge, depois de tocar o …

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nov 20

Dividindo a Herança

A herança deixada pelo pai (matemático) de Antônio, Bruno e Carlos foi distribuída entre os três irmãos. A distribuição foi feita da seguinte forma: 1 real para Antônio, 2 reais para Bruno, 3 reais para Carlos, 4 reais para Antônio, 5 reais para Bruno, 6 reais para Carlos e assim por diante até que todo …

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nov 13

Táxis.

Numa cidade existem duas empresas de táxis. A empresa A cobra um valor fixo de R$ [tex]8,00[/tex] com um acréscimo de R$ [tex]1,00[/tex] por cada quilômetro percorrido e a empresa B cobra o valor fixo de R$ [tex]4,00[/tex] com um acréscimo de R$ [tex]1,20[/tex] por cada quilômetro percorrido. (a) Qual empresa será conveniente contratar para …

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nov 13

Animais da fazenda.

No último levantamento havia na fazenda de Sebastião [tex]3200[/tex] cabeças de gado divididas em suínos, caprinos, bovinos e equinos. Considere as seguintes informações: a quantidade de suínos era [tex]3/5[/tex] da quantidade de bovinos, a quantidade de caprinos superava a quantidade de suínos em [tex]140[/tex] e subtraindo-se [tex]300[/tex] do total de suínos obtinha-se a quantidade de …

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nov 07

Tombando um bloco

Um bloco de vidro na forma retangular, com dimensões [tex]40 cm ~\times~ 10 cm ~\times~ 20 cm[/tex], totalmente fechado e com água até certo nível, conforme a figura abaixo, foi colocado em pé. Na nova posição, determine a distância x . Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz …

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