Categoria: Álgebra e números reais

Quadrado Perfeito

Mostre que o número [tex] \underbrace {11 \dots 1}_{(n-1)~vezes}\underbrace {222 \dots 2}_{(n)~vezes}5[/tex] é um quadrado perfeito. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 23, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido …

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Sistema polinomial

Encontre todas as soluções reais do sistema de equações [tex]x^2(x^2+x+1)=28[/tex] [tex]x(x^3+x^2-1)=22[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 16, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido o problema, postem suas soluções …

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Uma regra curiosa

Fernanda estava brincando com algumas caixas coloridas de papelão que ela ganhou. Depois de enfileirá-las, decidiu marcar cada caixa com um número inteiro, segundo uma regra curiosa: A primeira caixa foi marcada com o número [tex]1[/tex]. A partir da primeira, o número com que Fernanda marcou cada caixa foi a soma dos números com que …

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Subconjuntos

(Banco de questões da OBMEP – Adaptado) Considere o conjunto [tex]A=\{1, 2, 3, \cdots, 2018\}[/tex]. Quantos subconjuntos de [tex]A[/tex] existem de modo que a soma de seus elementos seja [tex]2\ 037\ 164[/tex]? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 9, próxima quinta-feira, deem …

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Solução natural

Mostre que a equação [tex]x^3-7y^2=5[/tex] não possui nenhuma solução formada por números naturais. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 19, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido o problema, postem …

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Sequência de Bolinhas

Observe a figura mostrada abaixo. Lúcia observou que cada número dessa sequência pode ser modelado por meio de um conjunto de bolinhas que dispostas convenientemente formam um triângulo. Seguindo o mesmo padrão, quantas bolinhas terá o décimo termo da sequência? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: …

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Simplifique…

Sabendo que [tex]n[/tex] é um número real maior do que [tex]1[/tex], simplifique a seguinte expressão: [tex]\qquad \qquad \sqrt[n-1]{\dfrac{3^{n-1}+4^{n-1}+6^{n-1}}{4^{1-n}+6^{1-n}+8^{1-n}}}[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico deste problema e postem lá as suas dúvidas. Os …

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Convites para uma festa de aniversário

Isabel tem uma impressora em sua casa e resolveu que ela própria faria os convites de sua festa de aniversário. Para economizar, Isabel vai utilizar folhas de papel que possam ser divididas em três retângulos iguais, de modo que seja possível imprimir em cada folha três convites, conforme mostrado na figura. As folhas de papel …

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Solução particular

Encontre uma solução para o sistema de equações [tex]x_1+x_2+x_3+x_4=17[/tex] [tex]x_4+x_5+x_6+x_7=17[/tex] [tex]x_1+x_8+x_9+x_7=17[/tex] formada por [tex]9[/tex] números naturais distintos pertencentes ao conjunto [tex]\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 21, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na …

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Sistema quadrático

Encontre todas as soluções reais do sistema de equações [tex]3x^2-2y^2=5[/tex] [tex]x^2-y^2=1[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 21, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido o problema, postem suas soluções …

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