Categoria: Álgebra e números reais

Ali Babão e a Trigésima Nona de suas Quarenta Equações

PROBLEMA Quantos números inteiros satisfazem a equação [tex]2^x \cdot (4-x)=2x+4[/tex]? DICA Isole [tex]2^x[/tex] e analise a expressão obtida no segundo membro. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 11.11.2021, deem uma passadinha na Sala Problemas 2020: Dicas e Dúvidas do …

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Três Menores Divisores

PROBLEMA Seja [tex]n[/tex] um número inteiro positivo. Se os três menores divisores positivos de [tex]n[/tex] são os números [tex]1, 3[/tex] e [tex]13[/tex], e se a soma dos três maiores divisores de [tex]n[/tex] é igual a [tex]3905[/tex], qual o valor de [tex]n[/tex]? DICA Tome um número como o [tex]72[/tex], por exemplo. Divida-o por seus menores divisores …

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Verificação de identidade

PROBLEMA Sejam [tex]A = sen^2x,[/tex] [tex]B = cos^2x,[/tex] [tex]C = sec^2x[/tex] e [tex]D = csc^2x[/tex], com [tex]x\neq k \cdot \dfrac{\pi}{2}[/tex] ([tex]k[/tex] um número inteiro qualquer). Mostre que [tex]\dfrac{1}{1+A}+\dfrac{1}{1+B}+\dfrac{1}{1+C}+\dfrac{1}{1+D} = 2[/tex]. DICA Faça a substituição das expressões de [tex]A, B, C[/tex] e [tex]D[/tex] em termos de [tex]sen \;x[/tex] e [tex]cos \;x[/tex] e tente desenvolver o primeiro …

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Ali Babão e a Trigésima Oitava de suas Quarenta Equações

PROBLEMA Ali Babão desafiou seu irmão caçula, Ali Babinho, a resolver, nos números reais, a equação [tex]3^B=\sqrt{3\sqrt{3^2\sqrt{3^3\cdots\sqrt{3^{100}}}}}[/tex]. Qual é o valor de [tex]B[/tex]? DICA [tex]\rhd[/tex] Tente observar os casos iniciais: [tex]\sqrt{3}, \sqrt{3\sqrt{3^2}}[/tex] etc. Uma ideia é tentar escrever os expoentes como somas de frações cujos denominadores são potências de [tex]2[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem …

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Área no plano cartesiano

PROBLEMA No plano cartesiano a seguir, no qual os eixos estão graduados em quilômetros, estão representados os gráficos da função [tex]f: \left[ 0,\dfrac{5}{2} \right] \rightarrow \mathbb{R}[/tex], definida por [tex]f(x)=\dfrac{-1}{2}x^{2}+\dfrac{5}{2}x[/tex], e da função afim [tex]g: \left[ \dfrac{5}{2}, 5 \right] \rightarrow \mathbb{R}[/tex], cujo coeficiente angular é [tex]- \dfrac{5}{4}[/tex]. O retângulo [tex]ABCD[/tex] tem os vértices [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] …

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