Categoria: Álgebra e números reais

Bagagens

PROBLEMA As companhias aéreas permitem aos passageiros despacharem suas bagagens nas seguintes condições: cada companhia estabelece um limite de peso que cada passageiro pode transportar sem custo adicional. Caso o peso total da bagagem exceda o limite estabelecido, o passageiro deverá então pagar uma taxa adicional para despachar suas bagagens. Esta taxa adicional é um …

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O engano de Laila

PROBLEMA Para resolver a equação [tex]36x^2 -12x +1 = 6x -1[/tex], Laila, uma aprendiz do matemático Beremiz, transformou a equação em [tex](6x -1)^2 = 6x -1[/tex], e daí para [tex] 6x -1 = 1[/tex], de onde concluiu que a solução da equação original é [tex]x = 2/6=1/3[/tex]. Beremiz a alertou para um erro de raciocínio …

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Divisibilidade por 3

PROBLEMA Mostre que para qualquer número inteiro [tex]n[/tex] a expressão [tex]n^{3}+3n^{2}+5n+3[/tex] sempre será divisível por [tex]3[/tex]. DICA Reescreva a expressão como uma soma de parcelas que sejam separadamente divisíveis por [tex]3[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 25.02.2021, deem …

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Sistema Elo

PROBLEMA O Sistema Elo é um método utilizado para se calcular a força de um jogador de xadrez, tênis, etc., em relação a outros jogadores. Foi inventado pelo físico americano Arpad Elo. Neste sistema, dados dois jogadores [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], com forças medidas pelos números [tex]R_A[/tex] e [tex]R_B[/tex], respectivamente, o número [tex]E_{AB}[/tex], dado por [tex]E_{AB}=\dfrac{1}{1+10^{R_B-R_A}},[/tex] …

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Grupo de Trabalho

PROBLEMA Três homens, [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] , trabalhando juntos, realizam uma tarefa em [tex]x[/tex] horas. Se trabalhassem sozinhos, [tex]A[/tex] executaria a tarefa em [tex]x+1[/tex] horas; [tex]B[/tex], em [tex]x + 6 [/tex] horas; [tex]C[/tex], em [tex]2x[/tex] horas. Calcule [tex]x[/tex]. DICA Procure por expressões que forneçam a fração da tarefa que estes homens realizam em uma …

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Identidade de Catalan

PROBLEMA a) Prove a identidade de Catalan [tex]x \cdot (x-3 \cdot (y+z))^2+(y+z) \cdot (3x-(y+z))^2=(x+y+z)^3.[/tex] b) Podemos escrever [tex]14[/tex] como a soma de três quadrados de naturais; de fato, [tex]14=3^2+2^2+1^2[/tex]. É fácil verificar que essa é a única maneira de escrever [tex]14[/tex] como soma de três quadrados. Mostre como escrever [tex]14^3[/tex] de três maneiras distintas como …

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Ali Babão e a Vigésima Nona de suas 40 Equações

PROBLEMA Determine a soma e o produto das raízes reais da equação: [tex]x^2+18x+30=2 \sqrt{x^2+18x+45}.[/tex] DICA Faça uma mudança de incógnita na equação igualando o primeiro membro à outra incógnita. Depois analise como pode ser reescrita a expressão que está no radical utilizando a nova incóginta. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a …

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Distância entre o Sol e corpos celestes

PROBLEMA A distância [tex]d[/tex] do Sol a um corpo celeste que gira em torno dele, como o planeta Terra, pode ser dada por [tex]d = \dfrac{a(1-e^2)}{1-e\cos\;\theta}[/tex], onde [tex]a[/tex] é a distância média em unidades astronômicas, [tex]e[/tex] é uma constante chamada excentricidade e [tex]\theta[/tex] é um ângulo entre [tex]0[/tex] e [tex]360^{\circ}[/tex] (veja a figura abaixo). As …

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Prova sem palavras 2

PROBLEMA As figuras a seguir são uma prova sem palavras de que [tex]\sqrt{2} [/tex] é irracional: Vamos transformar essas figuras em uma prova com palavras! a) Na Figura 1, sendo [tex]m[/tex] o lado do quadrado maior e [tex]n[/tex] o lado dos quadrados menores, mostre que [tex]\dfrac{m}{n}=\sqrt{2}[/tex]. b) Na Figura 2, há um quadrado rosa escuro …

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Outro valor máximo

PROBLEMA Considere todos os pares de números reais [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] para os quais [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]. Neste conjunto, encontre o maior valor assumido pela expressão [tex]E = x + 2y.[/tex] DICA Considere que [tex]E=x + 2y [/tex] é a equação de uma reta [tex]r[/tex]. Quais são os pontos de interseção de [tex]r[/tex] com os eixos? Quando …

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