Categoria: Geometria

Uma área sombreada II

PROBLEMA A figura abaixo mostra nove quadrados 1 cm X 1 cm e um círculo. O círculo passa pelos centros dos quatro quadrados dos cantos. Qual é a área da região sombreada? DICA [tex]\rhd[/tex] O Teorema de Pitágoras pode ser útil para o cálculo do raio do círculo! Reúnam seus Clubes e tentem resolver o …

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Prova de Tiro

PROBLEMA Nos quatro primeiros tiros de uma competição, um atirador situado em um ponto P deveria acertar alvos localizados nos vértices de um retângulo [tex]ABCD[/tex]. Sabendo que a distância de [tex]A[/tex] a [tex]P[/tex] era de [tex]5[/tex] m, de [tex]B[/tex] a [tex]P[/tex], [tex]2[/tex] m, de [tex]D[/tex] a [tex]P[/tex], [tex]4[/tex] m, determine a distância [tex]x[/tex] do tiro …

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Quadrilátero inscritível

PROBLEMA Na figura abaixo, [tex]ABCD[/tex] é um quadrilátero inscrito numa circunferência de centro em [tex]O[/tex]. As diagonais [tex]AC[/tex] e [tex]BD[/tex] se intersectam perpendicularmente, onde [tex]AC[/tex] mede [tex]6\;cm[/tex] e [tex]BD[/tex] mede [tex]7\;cm[/tex]. a) Quanto mede, em [tex]cm^2[/tex], a área do quadrilátero [tex]ABCD[/tex]? b) Mostre que os triângulos [tex]AOB[/tex] e [tex]COD[/tex] possuem mesma área. DICA Dadas as …

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Fitas Coloridas

PROBLEMA Na figura, as três fitas têm a mesma largura horizontal [tex]a[/tex]. Essas três fitas conectam duas linhas paralelas. Cinco amigos fizeram as seguintes observações: André: É impossível saber qual fita tem maior área sem conhecer a medida [tex]a[/tex]; Andreia: A fita vermelha tem maior área; Raquel: A fita azul tem maior área; Ronan: A …

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Volume complicado

PROBLEMA Seja [tex]ABCDEF[/tex] um hexágono regular inscrito numa circunferência de centro [tex]O[/tex] e raio [tex]6[/tex] cm. Considere a região interior à circunferência e exterior ao hexágono. Determine o volume gerado pela rotação completa dessa região em torno do eixo que passa pelos pontos [tex]A[/tex] e [tex]D[/tex]. DICA Qual seria o volume gerado pela região interior …

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Lado do dodecágono

PROBLEMA Seja [tex]ABCDEFGHIJKL[/tex] um dodecágono regular inscrito numa circunferência de centro [tex]O[/tex] e raio [tex]6[/tex] cm. Mostre que o lado desse dodecágono mede [tex]3\cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})[/tex] cm. DICA Pode ser interessante usar a Lei dos Cossenos no triângulo determinado pelo centro da circunferência e quaisquer dois vértices consecutivos do dodecágono. Reúnam seus Clubes e tentem resolver …

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Uma medida angular

PROBLEMA A partir das informações da figura abaixo, determine a medida angular [tex]\theta[/tex], sabendo que as retas [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex] são paralelas. DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Observe que o suplementar de [tex]2\alpha[/tex] é um ângulo correspondente a [tex]\theta[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente e vocês não conseguirem, não …

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Duas latas em uma

PROBLEMA Um soldador abriu duas latas cilíndricas idênticas paralelamente aos seus eixos (linhas tracejadas, na figura) e as soldou para formar uma lata maior. Qual a relação entre o volume de cada lata menor e o volume da lata maior? DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Se [tex]r[/tex] é o raio da base de cada lata menor, quais são …

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Ângulo em um trapézio

PROBLEMA No trapézio [tex]PQRS[/tex], os lados [tex]\overline{PQ}\;[/tex] e [tex]\;\overline{SR}[/tex] são paralelos. O ângulo [tex]R\hat{S}P [/tex] mede [tex]120^\circ[/tex] e [tex]RS= SP =\frac{1}{3}PQ[/tex]. Qual é a medida do ângulo [tex]P\hat{Q}R[/tex] ? DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Tenham em mente as propriedades de triângulos equiláteros e isósceles! Ah! Uma boa figura pode ajudar! Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. …

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Relação Entre Áreas no Tetraedro

PROBLEMA A figura mostra um tetraedro [tex]ABCD[/tex], onde [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex] são vértices de um paralelepípedo retangular de dimensões com medidas [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex]. Sejam [tex]F_A[/tex], [tex]F_B[/tex], [tex]F_C[/tex] e [tex]F_D[/tex] as áreas das faces opostas aos vértices [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex], respectivamente. Prove que [tex]F^2_A + F^2_C= F^2_B + F^2_D[/tex]. DICA …

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