Categoria: Problemas e Desafios

Cumprimentos Matemáticos

PROBLEMA Em um Congresso Internacional de Matemáticos, cada participante apertou as mãos de um certo número de outras pessoas. Duas pessoas não se cumprimentaram mais de uma vez. Explique porque a quantidade de pessoas que apertaram as mãos um número ímpar de vezes deve ser um número par. DICA [tex]\rhd[/tex] Suponha que você some as …

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A soma dos dígitos é 2020

PROBLEMA Seja [tex]N[/tex] o menor inteiro positivo cujos dígitos somam [tex]2020[/tex]. Qual é a soma dos dígitos de [tex]N+1[/tex]? DICA [tex]\rhd[/tex] Para que um inteiro cujos dígitos têm soma definida seja o menor possível, a quantidade de seus algarismos deve ser a menor possível e o menor algarismo deve ser o primeiro à esquerda. Colocar …

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Corrida de Iates

PROBLEMA Em 1866, o iate Henrietta – com Gordon Bennet a bordo – venceu a Great Ocean Yacht Race (Grande Corrida Oceânica de Iates), percorrendo uma distância de aproximadamente 3 000 milhas náuticas. O tempo do vencedor foi de 13 dias e 22 horas, aproximadamente. Os iates Henrietta, Fleetwing e Vesta. Imagem extraída de Classic …

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Problema das Luzes

PROBLEMA Existe uma lei da Física que diz que a intensidade luminosa [tex]I_A[/tex], medida em candela, que uma fonte luminosa [tex]A[/tex] produz sobre um ponto [tex]Q[/tex], situado a uma distância [tex]d[/tex] de [tex]A[/tex], é diretamente proporcional à potência luminosa [tex]P[/tex] da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância [tex]d[/tex], ou seja, [tex]I_A=\dfrac{P}{d^2}[/tex]. Considerando que …

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Sisteminha

PROBLEMA Calcule os valores de [tex]x, y , u [/tex] e [tex]v[/tex] que satisfazem o sistema de quatro equações [tex]\begin{cases}x+7y+3v+5u=16\\8x+4y+6v+2u=-16\\2x+6y+4v+8u=16\\5x+3y+7v+u=-16\end{cases}.[/tex] DICA Escolha dois pares de equações e efetue a soma entre elas. Depois tente fazer algum artifício algébrico de forma a obter a solução. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica …

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Quadrado Mágico

PROBLEMA Este é um quadrado mágico aditivo [tex]3\times3[/tex]: [tex] \begin{array}{|c|c|c|}\hline 6 & 7 & 2\\ \hline 1 & 5 & 9 \\ \hline 8 & 3 & 4 \\ \hline \end{array} [/tex] Neste quadrado formado por números naturais distintos entre si, a adição dos números em cada linha, coluna ou diagonal resulta sempre no mesmo …

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Manipulação Algébrica

PROBLEMA Dados os números reais não nulos a, b e c, determine o valor da expressão [tex]\dfrac{a^5+b^5+c^5}{5} \cdot \dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^2 \cdot b^3 \cdot c^2}[/tex], de forma que se tenha [tex]a^2+b^2+c^2=a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c[/tex]. DICA Multiplique a igualdade dada por 2 em ambos os membros e procure a fatoração de …

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Duas Moedas

PROBLEMA Temos duas moedas perfeitamente iguais, por exemplo, de 1 real. Fazemos rodar uma delas em torno da outra, mantendo sempre o contato, mas sem derrapar. Quando a moeda que está a rodar volta à posição inicial, quantas voltas ela deu sobre si própria? DICA Lembre que o comprimento de uma circunferência de raio R …

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Levando até à Cobertura

PROBLEMA A transportadora Viaje Bem recebeu a tarefa de erguer um objeto até a cobertura de um edifício por meio de um sistema de roldanas como mostrado na figura. Os dois funcionários puxam o objeto de maneira que um deles puxa 10 m de corda e, o outro, o dobro da quantidade puxada pelo primeiro. …

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Ângulo no quadrilátero

PROBLEMA No quadrilátero [tex]ABCD[/tex], [tex]D\hat A C=98 ^\circ[/tex], [tex]D\hat B C=82 ^\circ[/tex], [tex]B\hat C D=70 ^\circ[/tex] e [tex]BC=AD[/tex]. Encontre a medida do ângulo [tex]A\hat C D[/tex]. DICA Prolongue o segmento [tex]\overline{CA}[/tex] e calcule o suplemento do ângulo [tex]D\hat A C[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não …

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