Categoria: Problemas e Desafios

Quadrado Perfeito

Mostre que o número [tex] \underbrace {11 \dots 1}_{(n-1)~vezes}\underbrace {222 \dots 2}_{(n)~vezes}5[/tex] é um quadrado perfeito. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 23, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido …

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Treino de Pilates

Camila Mila começou a praticar Pilates e separa os dias de treino por dois dias de descanso. Se o primeiro treino foi em uma segunda-feira, em qual dia da semana cairá o centésimo treino? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 23, próxima …

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Apertos de Mãos

Em uma festa todos os convidados se cumprimentam com um aperto de mãos. Se houve [tex]15[/tex] apertos de mãos, quantas pessoas estavam na festa? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 23, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum …

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Dois retângulos, dois triângulos

No interior de um retângulo [tex]EFGH [/tex] cuja área é [tex]2018~cm^2~[/tex], traçamos uma circunferência de centro em [tex]O~[/tex] e inscrita no triângulo [tex]EFG[/tex], conforme mostra a figura abaixo.[/size] [size=120]Sabendo que os segmentos [tex]\overline{OP}~[/tex] e [tex]~ \overline{OQ}~[/tex] são paralelos aos lados do retângulo [tex]EFGH[/tex], determine a área do retângulo [tex]POQH.[/tex] DICA: Congruências de triângulos são bem …

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Ternas ordenadas

Determinar todas as ternas ordenadas de números naturais não nulos [tex](x,y,z)[/tex] tais que [tex] \boxed{\dfrac{3xy-1}{xyz+1}}~[/tex] seja um número inteiro positivo. DICA: Se [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] são números naturais (ou inteiros), com [tex]n \ne 0 [/tex], o que significa [tex] \dfrac{m}{n} [/tex] ser um número natural (ou inteiro)? Por que [tex]\dfrac {6}{2}[/tex] é um número natural …

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Área de um trapézio

Traçamos as diagonais [tex]\overline{AC}~[/tex] e [tex]~\overline{BD}[/tex] do trapézio retângulo [tex]ABCD[/tex] mostrado na figura. A interseção dessas diagonais é o ponto [tex]P[/tex] e as áreas dos triângulos [tex]APD ~[/tex] e [tex]~ABP [/tex] são [tex]10~cm^2~[/tex] e [tex] ~20~cm^2[/tex], respectivamente.[/size] Determinar a área do trapézio [tex]ABCD~.[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, …

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Sistema polinomial

Encontre todas as soluções reais do sistema de equações [tex]x^2(x^2+x+1)=28[/tex] [tex]x(x^3+x^2-1)=22[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 16, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido o problema, postem suas soluções …

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Asteriscos perfeitos

A operação [tex]\ast[/tex] é definida no conjunto dos números naturais da seguinte forma: Dados dois números naturais [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex], então [tex]m \ast n=m(n+1)[/tex]. Um número natural [tex]y[/tex] é dito ser um asterisco perfeito se existir um número natural [tex]x[/tex] tal que [tex]x\ast x=y[/tex]. O número [tex]2383749037438494[/tex] é um asterisco perfeito? Reúnam seus Clubes e …

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Menor múltiplo

Encontre o menor número natural que seja divisível por [tex]2, 3, 4, 5, 6[/tex] e [tex]7[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 16, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido …

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Subconjuntos

(Banco de questões da OBMEP – Adaptado) Considere o conjunto [tex]A=\{1, 2, 3, \cdots, 2018\}[/tex]. Quantos subconjuntos de [tex]A[/tex] existem de modo que a soma de seus elementos seja [tex]2\ 037\ 164[/tex]? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 9, próxima quinta-feira, deem …

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