Encontre as medidas dos ângulos

PROBLEMA Seja [tex]ABC[/tex] um triângulo equilátero de baricentro [tex] O[/tex] e lado medindo [tex] 3[/tex]. Considere [tex] P[/tex] um ponto sobre o lado [tex]\overline{AB}[/tex] tal que [tex]AP=1[/tex] e [tex]M[/tex] sobre o lado [tex]\overline{AC}[/tex] tal que [tex]CM=1[/tex]. Encontre as medidas dos ângulos do triângulo [tex]MOP[/tex]. DICA Lembrem-se de que, em um triângulo equilátero, o baricentro também …

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Qual é a diferença?

PROBLEMA Um campeonato de voleibol possui a seguinte regra de pontuação: [tex]3[/tex] pontos se a equipe vencer o jogo, [tex]1[/tex] ponto se empatar e nenhum ponto se perder. A equipe Clube OBMEP participou desse campeonato disputando um total de [tex]18[/tex] jogos e desses perdeu apenas [tex]3[/tex]. Sabendo que no final a equipe obteve [tex]27[/tex] pontos, …

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Elevador

PROBLEMA Um elevador sai do térreo com [tex]7[/tex] pessoas. Para em todos os andares. Em cada andar, duas pessoas entram. Nos andares pares, três pessoas saem e em andares ímpares ninguém sai. Quantas pessoas estão no elevador antes da porta abrir no [tex]11^{\circ}[/tex] andar? DICA Se ninguém saísse do elevador, quantas pessoas teríamos antes de …

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Nova Sala de Estudo

 

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Ali Babão e a vigésima quarta de suas 40 equações

Quantos pares ordenados [tex] (x,y)[/tex], com [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] números reais, satisfazem a equação [tex]\,\boxed{\,x^2+y^2=|x|+|y|\,}\,[/tex]? E se [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] forem inteiros? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico deste problema e postem lá …

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Uma fração natural

Para quais inteiros positivos [tex]n[/tex] o número [tex]\boxed{\,m=\dfrac{n+17}{n-7}\,}[/tex] é um inteiro positivo? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico deste problema e postem lá as suas dúvidas. Os nossos Moderadores com certeza irão lhes …

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Último dígito

Determine o algarismo das unidades da soma [tex] \boxed{3^{2020}+4^{2020}}\,[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico deste problema e postem lá as suas dúvidas. Os nossos Moderadores com certeza irão lhes ajudar! Bons estudos!

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Área colorida de azul

A partir de um triângulo equilátero [tex]ABC[/tex] cuja medida da área é [tex]27\text{ cm}^2[/tex], traçamos três retas, cada uma paralela a um dos lados do triângulo, de modo que cada lado ficou dividido em três partes iguais. Qual a medida da área colorida de azul? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se …

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Contando brinquedos no parque de diversão

PROBLEMA Em um parque de diversão existem brinquedos de [tex]21[/tex],[tex]28[/tex] e [tex]42[/tex] lugares formando um total de [tex]36[/tex] brinquedos. Nos finais de semana, todos os brinquedos do parque ficam ocupados. Ocupando todos os lugares nos brinquedos de [tex]21[/tex] e [tex]28[/tex] lugares, [tex]812[/tex] pessoas ficam perfeitamente acomodadas e podem se divertir no brinquedo desejado. Sabendo que …

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Uma função curiosa

PROBLEMA Para todos os inteiros [tex]x[/tex], a função [tex]f[/tex] satisfaz [tex]f(x+1) = \dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}[/tex]. Se [tex]f(1)= -3,[/tex] então calcule f(2020). DICA Usem o valor de [tex]f(1)[/tex] para encontrarem a imagem [tex]f(2)[/tex], depois o valor de [tex]f(2)[/tex] para encontrarem [tex]f(3)[/tex], assim por diante. Será que existe alguma regra nas imagens dos números inteiros positivos pela função [tex]f[/tex]? …

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