PROBLEMA
Encontre o resto da divisão de [tex]6^{2024}[/tex] por [tex]37[/tex].
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 18, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
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Bons estudos, pessoal!
2 comentários
Para resolver essa questão irei usar aritmética modular e um produto notável.
Analisando que :
[tex]a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)[/tex] e substituindo [tex]a=6^2=36[/tex] e [tex]b=1[/tex]
Temos:
[tex](I)\ 36^2-1=37\cdot35[/tex]
Por aritmética modular temos:
[tex](II)\ m \mid p-q[/tex]
Então:
[tex](III)\ p\equiv q \pmod{m}[/tex]
Substituindo [tex]p=36^2=6^4[/tex], [tex]q=1[/tex] e [tex]m=37[/tex], por [tex](I)[/tex] e [tex](II)[/tex], [tex](III)[/tex] é valida ficando [tex]6^4\equiv 1 \pmod{37}[/tex]
Usando a propriedade:
[tex](IV)\ p^k \equiv q^k \pmod{m}, \ \ k \in \mathbb{Z_+^*}[/tex]
Como:
[tex]6^{2024}=(6^4)^{506}[/tex] em [tex](IV)[/tex] ficamos com [tex](6^4)^{506} \equiv 1^{506} \pmod{37}[/tex], logo temos resto 1.
Autor
Correto, pessoal.