Categoria: Álgebra e números reais

Ali Babão e a Trigésima Quarta de suas 40 Equações

PROBLEMA Encontre uma raiz da equação [tex]x^{x^{20}}=\sqrt[\sqrt{2}]{2}.[/tex] DICA [tex]\rhd[/tex] Escreva [tex]x^{20}=a[/tex] e tente encontrar uma igualdade na qual o primeiro membro é da forma [tex]a^a[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 17.06.21, deem uma passadinha na Sala Problemas 2020: …

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Velas acesas

PROBLEMA Duas velas do mesmo tamanho são acesas simultaneamente. A primeira dura [tex]4[/tex] horas e, a segunda, [tex]3[/tex] horas. Considere que cada uma das velas seja consumida a uma velocidade constante. Em que instante, a partir das [tex]12[/tex] horas, as duas velas devem ser acesas de modo que, às [tex]16[/tex] horas, o a altura de …

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Ali Babão e a Trigésima Terceira de suas 40 Equações

PROBLEMA Encontre as raízes da equação: [tex](x^{2}-3x-2)^2-3(x^{2}-3x-2)-2-x=0[/tex]. DICA Reescreva [tex] 3(x^{2}-3x-2)[/tex] como [tex]2(x^{2}-3x-2)+(x^{2}-3x-2)[/tex] e em seguida faça operações algébricas utilizando fatoração. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 10/06/2021, deem uma passadinha na Sala Problemas 2020: Dicas e Dúvidas do …

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Paradoxo de Braess

PROBLEMA A figura abaixo mostra dois caminhos para se sair do ponto Início e chegar ao ponto Fim. Cada um destes caminhos é composto por um trecho com ônibus e um trecho com metrô. O tempo para se percorrer cada trecho com ônibus é igual a [tex]N/100[/tex] minutos (sofre congestionamento), em que [tex]N[/tex] representa o …

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Expedição Arqueológica

PROBLEMA Numa expedição arqueológica em busca de artefatos indígenas, um arqueólogo e seu assistente encontraram um úmero, um dos ossos do braço humano. Sabe-se que o comprimento desse osso permite calcular a altura aproximada de uma pessoa por meio de uma função do primeiro grau. (a) Determine essa função do primeiro grau, sabendo que o …

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Ali Babão e a Trigésima Segunda de suas 40 Equações

PROBLEMA Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] reais positivos tais que [tex]x ^ 3 + y ^ 3 + (x + y) ^ 3 + 30xy = 2000[/tex]. Mostre que [tex] x + y = 10 [/tex]. DICA Uma ideia é encontrar uma fatoração adequada. Como dica inicial, procure somar e subtrair [tex]3x^2y+3xy^2[/tex], rearranjando os termos. Reúnam …

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Ali Babão e a Trigésima Primeira de suas 40 Equações

PROBLEMA Resolva a equação [tex]4x^{4}-ax^{3}+bx^{2}-cx+5=0[/tex], sabendo que todas as raízes [tex]x_{1}, x_{2}, x_{3} [/tex] e [tex] x_{4}[/tex] são reais e positivas e que [tex]\dfrac{x_{1}}{2}+\dfrac{x_{2}}{4}+\dfrac{x_{3}}{5}+\dfrac{x_{4}}{8}=1[/tex]. DICA Utilizando as relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica (relações de Girard) é possível calcular o valor do produto [tex]\dfrac{x_{1}}{2}\cdot\dfrac{x_{2}}{4}\cdot\dfrac{x_{3}}{5}\cdot\dfrac{x_{4}}{8}.[/tex]Depois, compare esse resultado com o valor …

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