Categoria: Álgebra e números reais

Outra torneira pingando

Uma torneira está pingando e perde uma gota de água a cada segundo. Se estimarmos que 600 gotas de água enchem uma vasilha de 100 mililitros, quantos litros de água serão desperdiçados por essa torneira em um mês, se ela não for consertada? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, …

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Um Problema Antigo da OBM

[tex]a, b, c[/tex] e [tex]d[/tex] são números reais distintos tais que [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são raízes da equação [tex]x^2-3cx-8d=0[/tex] e [tex]c[/tex] e [tex]d[/tex] são raízes da equação [tex]x^2-3ax-8b=0[/tex]. Calcule a soma [tex]a+b+c+d[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 27.02.2020, próxima quinta-feira, deem …

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Ali Babão e a Décima Oitava de suas Equações

Encontre todos os reais [tex]x[/tex] para os quais [tex]\dfrac{8^x+27^x}{12^x+18^x}=\dfrac{7}{6}.[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 27.02.2020, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas 2020: Dicas e Dúvidas do nosso Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido o problema, postem …

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Expressão Numérica Incomum

Calcular o valor da expressão [tex]\left(\dfrac{4017^3-2009^3-2008^3}{4017 \times 2009 \times 2008}\right).[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 27.02.2020, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas 2020: Dicas e Dúvidas do nosso Fórum e procurem pela dica para este problema. Resolvido o problema, …

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Três tons de cinza

A tabela indica três tons acinzentados que podem ser obtidos com a mistura homogênea das tintas branca e preta. [tex]\begin{array}{|c|c|c|} \hline Tom \ Acinzentado & Proporção\ da\ Mistura \\ \hline Claro & 4 \ partes \ de \ tinta\ branca\ +\ 1\ parte\ de\ tinta\ preta\\ \hline Médio & 3 \ partes \ de \ …

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MMC e MDC

Calcule [tex]\boxed{ \dfrac{mmc(a,b)}{mdc(a,b)}}[/tex], sabendo-se que [tex]\,\,\\ \qquad \bullet \,\, a=2^n \cdot 3^{n+1} \cdot 11[/tex] e [tex]\qquad \bullet \,\, b=2^{n+1} \cdot 3^n \cdot 5\, [/tex], para algum número natural [tex]n[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem …

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O salário de Jonas

Jonas precisou reduzir sua jornada de trabalho e, em consequência dessa redução, seu salário reduziu um sexto. Do novo salário de Jonas, 25% vai para o pagamento de impostos e, do que restar, dois quintos serão gastos com o pagamento de um empréstimo pessoal. Após isso, Jonas ficará com R$ 750,00. Assim, pergunta-se: a) Quanto …

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Ali Babão e a décima quinta de suas 40 equações

Sabendo que [tex]x,y[/tex] e [tex]z[/tex] são números reais tais que [tex]x \geqslant 1\\[/tex], [tex]y \geqslant \frac{1}{2}\\[/tex], [tex]z \geqslant \frac{3}{2}\\[/tex], encontre TODAS as soluções da equação [tex]\left(xyz\right)^2=12\left(x-1 \right)\left(2y-1 \right)\left(2z-1 \right).[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem …

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Um sistema com infinitas soluções

O sistema [tex]\qquad \qquad \begin{cases} 3ax+2by=16\\ x+2y=8 \end{cases}\\ \,[/tex] tem infinitas soluções para as variáveis [tex]x[/tex] e [tex]y.[/tex] Determinar os possíveis valores de [tex]a[/tex] e de [tex]b.[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, procurem pelo tópico …

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Soma de três inversos

Sejam [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] números reais, distintos dois a dois, tais que [tex]\qquad\qquad a=\sqrt[3]{1-4b-4c}[/tex] , [tex]\qquad\qquad b=\sqrt[3]{1-4c-4a}[/tex] , [tex]\qquad \qquad c=\sqrt[3]{1-4a-4b}[/tex] . Determinar o valor da soma [tex]\,\,\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}[/tex] . Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala de Problemas, …

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