Categoria: Álgebra e números reais

Três números, três produtos

PROBLEMA Determine os números positivos [tex]a[/tex], [tex]b\,[/tex] e [tex]\,c\,[/tex] tais que [tex]ab=112[/tex], [tex]ac=168\,[/tex] e [tex]\,bc=96\,.[/tex] DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Que tal fazer o produto de todas as equações? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente e vocês não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala …

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O cálculo do valor mínimo da função

PROBLEMA Considere a função polinomial [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/tex] definida por [tex]f(x)=(x^{2} +2020x-1)^{2} +(2x+ 2020)^{2}[/tex]. a) Encontre números reais [tex]k[/tex] e [tex]h[/tex] tais [tex]f(x)=(x^{2}+kx+1)^{2} +h[/tex]; b) Encontre o valor mínimo da função [tex]f[/tex]. DICA O que acham de fazer a expansão dos termos de [tex]f(x)=(x^{2} +2020x-1)^{2} +(2x+ 2020)^{2}[/tex] e depois a expansão da mesma, …

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Calculando a imagem da função

PROBLEMA Considere a função polinomial [tex]f(x) = x^{3} + 2x^{2} -ax -2[/tex], onde [tex]a[/tex] é um número real. Sabendo que [tex]x_{1}[/tex] e [tex]-x_{1}[/tex] são raízes de [tex]f(x)[/tex]. Calcule [tex]f(2)[/tex]? DICA Como [tex]x_1[/tex] e [tex]-x_1[/tex] são raízes da função [tex]f[/tex], então [tex]f(x_1) = f(-x_1) = 0[/tex]. A partir disso, montem duas equações em [tex]x_1[/tex] a fim …

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Soma, produto e quociente

PROBLEMA Existem números reais cuja soma, o produto e o quociente sejam iguais entre si? DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Como escrever produto igual a quociente? Essa propriedade dará poucas opções para os possíveis números reais. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente e vocês não conseguirem, não faz mal: visitem …

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Um Sistema Potente

PROBLEMA Resolva o sistema formado pelas equações [tex]p+pr+pr^2=28[/tex] e [tex]p^2r+p^2r^2+p^2r^3=224[/tex]. DICA Tente colocar um mesmo termo em evidência no lado esquerdo de ambas as equações. Assim, você poderá dividi-las facilmente! Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 18.06.2020, deem uma …

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Uma Multiplicação Interessante

PROBLEMA Dado que [tex](x-y)(y-z)(z+x)=-90[/tex] e [tex](x-y)(y+z)(z-x)=42[/tex], calcule o valor de [tex]z(x-y)^2[/tex]. DICA Somar as equações dadas e colocar um dos fatores em evidência! Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 18.06.2020, deem uma passadinha na Sala Problemas 2020: Dicas e …

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Capas de um livro

PROBLEMA Para o lançamento de um novo livro, uma editora decidiu disponibilizar duas versões do livro: uma mais elaborada, com capa dura, e outra popular, com capa de papelão. Uma pesquisa realizada pela editora registrou que, no dia do lançamento, o lucro da editora poderia ser estimado pela função: [tex]L=(25-0,5x)\cdot x+(30-y)\cdot y -(50-0,5x-y)^2[/tex] em que …

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Um teste on-line

PROBLEMA Durante a pandemia, o professor de Matemática do Sonifran aplicou um teste on-line com 25 perguntas e anunciou o seguinte critério de correção: Imagem do menino extraída de Freepik Sonifran conseguiu responder 24 perguntas e obteve 156 pontos. Quantas perguntas ele respondeu corretamente? DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Podemos determinar duas equações cujas incógnitas são as quantidades …

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Fração de fração

PROBLEMA Ao sair de casa para uma breve viagem, o marcador de combustível do carro da Soemi indicava que o tanque tinha a capacidade total que pode ser visualizada na figura a seguir. Imagem do volante extraída de Freepik Ao chegar da viagem, Soemi percebeu que o carro consumiu 2/3 do combustível que estava no …

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Qual é a diferença?

PROBLEMA Um campeonato de voleibol possui a seguinte regra de pontuação: [tex]3[/tex] pontos se a equipe vencer o jogo, [tex]1[/tex] ponto se empatar e nenhum ponto se perder. A equipe Clube OBMEP participou desse campeonato disputando um total de [tex]18[/tex] jogos e desses perdeu apenas [tex]3[/tex]. Sabendo que no final a equipe obteve [tex]27[/tex] pontos, …

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