Categoria: Álgebra e números reais

Equação do volume

PROBLEMA O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a seguinte equação: [tex]V=10-|4-2t|-|2t-6|[/tex], com [tex]t\in\mathbb{R_{+}}[/tex]. Nela, [tex]V[/tex] é o volume medido em metros cúbicos após [tex]t[/tex] horas, contadas no intervalo de [tex]8[/tex] às [tex]13[/tex] horas de uma manhã . Quais os horários (inicial e final) dessa manhã em que …

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Um Lindo Produto

PROBLEMA Mostre que o produto [tex]\left(1+\dfrac{1}{a}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^2}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{a^4}\right) \cdots \left(1+\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\right)[/tex], onde [tex]a[/tex] é um número Real não nulo, resulta em [tex]\dfrac{ 1-\dfrac{1}{a^{2^{101}}}}{1-\dfrac{1}{a}}[/tex]. DICA Se multiplicar a expressão por [tex]\left(1-\dfrac{1}{a}\right)[/tex], você poderá utilizar um conhecido produto notável repetidas vezes! Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não …

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A água do queijo

PROBLEMA O rótulo de uma embalagem de queijo cremoso indica que o mesmo contém 24% de gordura. O mesmo rótulo diz também que há 64% de gordura na parte sólida do queijo (o que sobra após a desidratação). Qual é a porcentagem de água no queijo? DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Se [tex]x\%[/tex] do queijo é parte sólida, …

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Um sistema diferente

PROBLEMA Determine os pares ordenados de números reais positivos que satisfazem o seguinte sistema de equações: [tex] \begin{cases} x^{x+y}=y^3\\ y^{x+y}=x^6\,y^3 \end{cases}\,[/tex]. DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Qual informação importante podemos obter multiplicando as duas equações? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente e vocês não conseguirem, não faz mal: visitem o …

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Fração trigonométrica

PROBLEMA Seja [tex]\theta[/tex] um ângulo agudo tal que [tex]\qquad A=\dfrac{2sen^3\theta\cdot cos\,\theta}{sen\,\theta+cos\,\theta-1}+\dfrac{2cos^3\theta\cdot sen\,\theta}{sen\,\theta+cos\,\theta+1}[/tex] e [tex]\qquad B=cos\,\theta\left(1+cos\,\theta\right)+sen\,\theta\left(1+sen\,\theta\right)-1\,[/tex]. Verifique que [tex]\boxed{\dfrac{A}{B}=1+sen~\theta-cos~\theta}[/tex] DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Na representação de [tex]A[/tex], tente somar as frações a fim de torná-la mais simples. A expressão que representa [tex]B[/tex] também pode ser simplificada. Não esqueçam que [tex]sen^2~\theta+cos^2~\theta = 1.[/tex] Reúnam seus Clubes e tentem resolver …

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Um passeio de bicicleta

PROBLEMA Uma ciclista saiu de sua casa para um passeio de bicicleta até a chácara de sua avó. Depois de percorrer um terço do trajeto, parou para comer uma fruta. Se nesse momento ela ainda tinha treze quilômetros para percorrer até a metade do caminho, quantos quilômetros a ciclista percorreu no trajeto todo, desde que …

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Um cálculo estranho

PROBLEMA Se , calcule . DICA Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente e vocês não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala Problemas 2020: Dicas e Dúvidas, procurem pelo tópico deste problema e postem lá as suas dúvidas. Os nossos Moderadores com …

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Um quadrado dividido em quadradinhos

PROBLEMA Um quadrado de área S foi dividido em 102 quadradinhos, dos quais 101 têm lados com comprimentos 1 cm. Determine todos os valores possíveis para a área S . DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Observe que [tex]S = x^2[/tex], onde [tex]x[/tex] é um número inteiro positivo. Atentem para o fato de que a soma das áreas dos …

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Três números, três produtos

PROBLEMA Determine os números positivos [tex]a[/tex], [tex]b\,[/tex] e [tex]\,c\,[/tex] tais que [tex]ab=112[/tex], [tex]ac=168\,[/tex] e [tex]\,bc=96\,.[/tex] DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Que tal fazer o produto de todas as equações? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente e vocês não conseguirem, não faz mal: visitem o nosso Fórum restrito, entrem na Sala …

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Soma, produto e quociente

PROBLEMA Existem números reais cuja soma, o produto e o quociente sejam iguais entre si? DICA [tex]\textcolor{#D02090}{\rhd}[/tex] Como escrever produto igual a quociente? Essa propriedade dará poucas opções para os possíveis números reais. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente e vocês não conseguirem, não faz mal: visitem …

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