Categoria: Problemas e Desafios

[tex]2019[/tex]

Se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são números naturais tais que [tex]a^{2}-b^{2}=2019[/tex], quais são os possíveis valores para [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 7, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para …

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Soma dos termos

Seja [tex]x[/tex] um número real positivo. Temos que a sequência [tex]\big(\log_3 x,\log_9 9x,\log_{27} 27x\big)[/tex] é uma progressão aritmética. Calcule a soma desses três termos. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 31, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum …

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As quatro modalidades

Em uma escola existem [tex]900[/tex] alunos. Para realizarem uma gincana esportiva, observaram que: [tex]330[/tex] alunos praticam voleibol; [tex]360[/tex] alunos praticam futebol; [tex]220[/tex] alunos praticam basquetebol; [tex]200[/tex] alunos praticam handebol. O número de alunos que praticam exatamente duas modalidades esportivas para cada dupla de modalidades é [tex]20[/tex]. Existem [tex]30[/tex] alunos que praticam exatamente três modalidades, para …

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Número da Casa

As amigas Noemi e Adriana adoram resolver problemas de Matemática. Assim, Noemi propôs o seguinte problema: O número da minha casa é formado por três algarismos. Sabendo que o produto dos três algarismos é igual a [tex]120[/tex], que a soma dos algarismos da unidade e da dezena vale [tex]9[/tex] e que o algarismo da dezena …

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Soma

(I Giochi di Archimede – Italia – 1996 – Adaptado) Qual é a soma dos números na tabela a seguir? \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 &3 & \cdots & n \\ \hline 2 & 3 &4 & \cdots & n+1 \\ \hline 3 & 4 &5 & \cdots & n+2 \\ \hline \cdots & \cdots …

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Algoritmo

Um programa de computador executa a seguinte rotina (algoritmo): 1. Inicie com os valores [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex]; 2. Considere [tex]x[/tex] como o quadrado de [tex]X [/tex] e [tex]y[/tex] como [tex]Y[/tex] subtraído do número 3; 3. Some os valores [tex]x[/tex] e [tex] y[/tex]; 4. Se a soma de [tex]x[/tex] com [tex]y[/tex] for menor que [tex]50[/tex], considere …

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2019

O número [tex]2019[/tex] possui os algarismos [tex]0, 1, 2[/tex] e [tex]9[/tex]. Utilizando no máximo uma vez os algarismos do número [tex]2019[/tex] e operações matemáticas, escreva os números de [tex]0[/tex] a [tex]10[/tex] como resultado de uma sentença. Por exemplo, poderíamos escrever o número [tex]3=2+1[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, …

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Distância [tex]QR[/tex]

Na figura abaixo, o ângulo [tex]Q\hat {P}R[/tex] mede [tex]45°[/tex]. Os segmentos [tex] \overline {QS}[/tex] e [tex] \overline {RS}[/tex] prolongados são perpendiculares a [tex] \overline {PR}[/tex] e [tex] \overline {PQ}[/tex], respectivamente. Sabendo que [tex]PS=20 \;cm[/tex], calcule a distância do ponto [tex]Q[/tex] ao ponto [tex]R[/tex]. Notação: Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], …

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Ali Babão e a oitava de suas 40 equações

Sabendo que [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números naturais maiores que [tex]1[/tex], resolva a equação [tex]a+b+c+a \cdot b+b \cdot c+a \cdot c+a \cdot b \cdot c=2000[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 13, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas …

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Os irmãos Mieno e Marcifran

Os irmãos Mieno e Marcifran ganharam um pacote com uma certa quantidade de balas. Imediatamente abriram o pacote e, depois de chuparem 70 balas, eles perceberam que restava mais da metade da quantidade inicial de balas. Antes de guardar o pacote com as balas que restaram, Marcifran lembrou que tinha 6 balas no seu quarto. …

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