Categoria: Problemas e Desafios

Acertando os Relógios

Francimar pensou que seu relógio estava atrasado [tex]10[/tex] minutos e o acertou, mas, na verdade, o relógio estava adiantado [tex]5[/tex] minutos. Noemi pensou que seu relógio estava adiantado [tex]10[/tex] minutos e o acertou, mas, na verdade, o relógio estava atrasado [tex]5[/tex] minutos. Logo depois, os dois se encontraram, quando o relógio de Francimar marcava [tex]10[/tex] …

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Equações do 2 grau

Consideremos as funções [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] definidas por [tex]f(x)=a_1x^2+b_1x+c_1[/tex] e [tex]g(x)=a_2x^2+b_2x+c_2[/tex], com [tex]a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2[/tex] constantes reais e [tex]a_1,\;a_2\neq 0[/tex]. Suponha que existem números reais [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex], com [tex]\alpha\neq \beta[/tex], tais que \begin{equation} f(\alpha)=f(\beta)=g(\alpha)=g(\beta)=0. \end{equation} Mostre que para [tex]b_1,b_2,c_1,c_2\neq 0[/tex], \begin{equation} \dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{c_2}{c_1}. \end{equation} Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não …

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Tabuleiro

Considerem o tabuleiro [tex]6 \times 6[/tex] e o dominó [tex]1\times 2[/tex], como na figura. É possível cobrir o tabuleiro utilizando dominós [tex]1\times 2[/tex], sem sobreposições, de maneira que os quadrados [tex]a_1[/tex] e [tex]f_6[/tex] fiquem livres? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 28, …

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Razão entre as medidas

No triângulo da figura abaixo, pelo ponto [tex]X[/tex] trace uma reta paralela ao lado [tex]\overline{BC}[/tex]. Considere [tex]M[/tex] o ponto de interseção dessa reta com o lado [tex]\overline{AC}[/tex]. Calcule a razão entre as medidas dos segmentos [tex]\overline{CM}[/tex] e [tex]\overline{CA}[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir …

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Um número Quadrado Perfeito

Encontre todos os números que são formados por [tex]4[/tex] algarismos da forma [tex]aabb[/tex] e que sejam quadrados perfeitos. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 21, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este …

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Um Volume Diferente

Três quadrados de lado [tex]12[/tex] são cortados em dois pedaços [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], unindo os pontos médios de dois lados adjacentes, como mostrado na figura [tex]1[/tex] abaixo. Estas seis peças obtidas são arranjadas de modo a formar um hexágono regular, como mostrado na figura [tex]2[/tex] e dobradas de modo a formar um poliedro. Qual o …

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Função da Produção

Uma empresa que produz certo produto modelou matematicamente a produção de seus operários pela expressão [tex]P(x)=6x+9x^2-x^3[/tex], onde [tex]x[/tex] corresponde à quantidade de horas trabalhadas após o início do expediente. O horário de início de funcionamento da empresa é [tex]6[/tex] horas. Qual será a produção de um funcionário durante sua quarta hora de trabalho sabendo que …

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Animais em Massa

As figuras mostram diversas combinações de pesagens entre três animais de espécies distintas. Na figura [tex]4[/tex], qual a marca correta que a balança deve indicar? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 14, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do …

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Calcule a medida do ângulo? [tex]II[/tex]

Seja [tex]P[/tex] o centro de um quadrado construído sobre a hipotenusa [tex]AC[/tex] do triângulo retângulo [tex]ABC[/tex]. Calcule a medida do ângulo [tex]P\hat B C[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 7, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum …

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Ano de nascimento do avô

Um homem nascido no século XX diz a seguinte frase para o filho: “seu avô paterno, que nasceu trinta anos antes de mim, tinha [tex]x[/tex] anos no ano [tex]x^{2}[/tex]”. Qual o ano de nascimento do avô? Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia …

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