Ali Babão a caminho de suas 40 equações

Ali Babão a caminho de suas 40 equações


Imagem do menino extraída de Dreamstime

Ali Babão é um mestre que adora inventar e resolver problemas de matemática.
Ele está elaborando uma lista com quarenta problemas envolvendo equações para apresentar aos seus discípulos matemáticos. Até agora, ele já escolheu vinte e oito belos problemas!

Será que você consegue resolvê-los?




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{1.}[/tex] Resolva a equação [tex]\boxed{(x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+1=x} \, [/tex] no conjunto dos números reais.

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{2.}[/tex] Determinar todas as soluções reais da seguinte equação:

[tex]\qquad \qquad \boxed{\dfrac{x^2}{x-1}+\sqrt{x-1}+\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{x-1}}} \, .[/tex]

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{3.}[/tex] Qual a solução da equação [tex]\boxed{4^x+6^x=2\cdot 9^x}[/tex] no conjunto dos números reais?

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{4.}[/tex] Resolva a equação [tex] \, \boxed{\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}}=1} \, .[/tex]

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{5.}[/tex] Se [tex]\,\boxed{9^m+9^m+9^m=3^{999}}\,[/tex], determine [tex]m.[/tex]

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{6.}[/tex] Determine todas as soluções reais da equação [tex]\,\boxed{8x^3-6x-1=0}\,[/tex].

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{7.}[/tex] Vamos brincar com gráficos?
[tex]\qquad[/tex] A equação [tex] \boxed{\left( \dfrac{1}{2} \right) ^x=|x-2|\;}[/tex] possui solução real?

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{8.}[/tex] Sabendo que [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números naturais maiores que [tex]1[/tex], resolva a seguinte equação:
[tex]\qquad \qquad \boxed{a+b+c+a \cdot b+b \cdot c+a \cdot c+a \cdot b \cdot c=2000}\,[/tex].

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{9.}[/tex] Considere a equação [tex]\,\boxed{p^{n}+144=q^{2}}\,[/tex], na qual [tex]n[/tex] e [tex]q[/tex] são números naturais e [tex]p[/tex] é um número primo.
[tex]\qquad[/tex] Encontre os possíveis valores de [tex]n[/tex], [tex] \, q \, [/tex] e [tex] \, p.[/tex]

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{10.}[/tex] Resolva a equação [tex]\quad \boxed{3=\dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{x}}}}} \, [/tex].

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{11.}[/tex] Determine todas as soluções reais da equação [tex]\boxed{(x^2+x+4)^2+8x^3+8x^2+32x+15x^2=0} \, .[/tex]

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{12.}[/tex] Determine todos os pares ordenados de inteiros [tex](x,y)[/tex] tais que [tex]\,\boxed{9xy-x^{2}-8y^2=2005}\,[/tex].

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{13.}[/tex] Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números inteiros. Determinar numericamente as raízes da equação [tex]\,\boxed{\left(ax-b\right)^2+\left(bx-a\right)^2=x}\,[/tex], sabendo que essa equação admite uma raiz inteira.

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{14.}[/tex] Ali Babão apresentou aos seus discípulos um tipo interessante de equações polinomiais:

  • equações cujos coeficientes equidistantes dos extremos ou são todos iguais ou são todos simétricos.

Esquematicamente, são equações da forma

tais que ou
[tex]\qquad \qquad a_n=a_0\,,\, a_{n-1}=a_1\,,\, a_{n-2}=a_2,\cdots\, [/tex]
ou
[tex]\qquad \qquad a_n=-a_0\,,\,a_{n-1}=-a_1\,,\, a_{n-2}=-a_2,\cdots\, [/tex] .

Ajude aos discípulos do mestre Ali, respondendo os itens abaixo.

(a) Se os coeficientes equidistantes dos extremos de uma equação são simétricos, então essa equação admite a raiz [tex]1[/tex]?
(b) Se os coeficientes equidistantes dos extremos de uma equação forem iguais, essa equação admite a raiz [tex]-1[/tex]?
(c) Resolva a equação [tex]\,\boxed{6x^3-19x^2+19x-6=0}\,[/tex].

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{15.}[/tex] Se [tex]x,\, y[/tex] e [tex]z[/tex] são números reais tais que [tex]x \geqslant 1[/tex], [tex]y \geqslant \frac{1}{2}[/tex] e [tex]z \geqslant \frac{3}{2}\\[/tex], encontre TODAS as soluções da equação
[tex]\qquad \qquad \boxed{\left(xyz\right)^2=12\left(x-1 \right)\left(2y-1 \right)\left(2z-3 \right)}\,.[/tex]

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{16.}[/tex] Determine todos os valores reais [tex]x, y\, [/tex] e [tex]\, z[/tex] que satisfazem à igualdade [tex]\boxed{3x^2+y^2+z^2=2xy+2xz}[/tex].

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{17.}[/tex] Resolva a equação [tex]\boxed{\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3}\,.[/tex]

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{18.}[/tex] Encontre todos os reais [tex]x[/tex] para os quais [tex]\,\boxed{\dfrac{8^x+27^x}{12^x+18^x}=\dfrac{7}{6}}\,.[/tex]

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{19.}[/tex] Quais as raízes reais da equação [tex] \boxed{\left|\,2x+\sqrt{5}\, \right|=x+4\,\sqrt{5}\,}[/tex]?

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{20.}[/tex] Determine os números inteiros [tex]m\,[/tex] e [tex]\,n[/tex] que satisfazem a seguinte equação: [tex]\boxed{\, 2^n+3^m=3^{m+2}-2^{n+1}\, }[/tex].

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{21.}[/tex] Se [tex]p[/tex] é um número primo, determinar todas as possíveis soluções inteiras [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] da equação [tex]\; \boxed{ p \cdot (m+n)=m \cdot n}\,[/tex].

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{22.}[/tex] Quantas soluções com quatro inteiros ímpares tem a equação
[tex]\qquad \qquad \boxed{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1}\;[/tex]?

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{23.}[/tex] Fixados [tex]m,\,n,\,p,\,q\,[/tex] e [tex]\,r[/tex], determine um valor de [tex]x[/tex] que satisfaça a equação
[tex]\,\\
\qquad \qquad \boxed{\dfrac{x-m}{n+p+q+r}+\dfrac{x-n-p}{q+r+m}+ \dfrac{x-q-r}{m+n+p}=3}\,.[/tex]

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{24.}[/tex] Quantos pares ordenados [tex] (x,y)[/tex], com [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] números reais, satisfazem a equação [tex]\,\boxed{\,x^2+y^2=|x|+|y|\,}\,[/tex]?
[tex]\quad\quad \;[/tex] E se [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] forem inteiros?

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{25.}[/tex] Para que valores reais [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] a igualdade [tex]\boxed{5x^{2}+5y^{2}+8xy+2y-2x+2=0}\,[/tex] é verdadeira?

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{26.}[/tex] Resolva no conjunto [tex]\mathbb{R}[/tex] dos números reais a equação [tex]\,\boxed{x^{2}+4x\,cos(xy)+4=0}\,.[/tex]

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{27.}[/tex] Encontre as soluções reais da equação [tex]\,\boxed{\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}=\sqrt{x+3}}\,.[/tex]

Solução




[tex]\quad \textcolor{#ae7c73}{28.}[/tex] Quantos pares ordenados [tex](x,y)[/tex] de números reais existem tais que
[tex]\qquad \qquad (2x+3y-1)^4+x^2+y^2=2xy\,[/tex]?

Solução




Equipe COM – OBMEP

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