.Desafio: Ali Babão e a primeira de suas 40 equações

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Ali Babão é um mestre que adora resolver equações. Propôs o seguinte problema para seus discípulos matemáticos:

• “Resolva a equação $\boxed{(x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+1=x}$ no conjunto dos números reais.”

Qual a solução correta?

Solução

Adicionando $\textcolor{red}{x^2-3x+1}$ a ambos os lados da igualdade $(x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+1=x \,$, segue que:
$\quad(x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+1\textcolor{red}{+(x^2-3x+1)}=x\textcolor{red}{+(x^2-3x+1)}$
$\quad (x^2-3x+1)^2-2(x^2-3x+1)+1=(x^2-3x+1)+x$
$\quad (x^2-3x+1)^2-2(x^2-3x+1)+1=x^2-2x+1$
$\quad \left((x^2-3x+1)-1\right)^2=(x-1)^2$
$\quad \left(x^2-3x\right)^2=(x-1)^2$
$\quad (x^2-3x)^2-(x-1)^2=0$
$\quad ((x^2-3x)+(x-1))\cdot ((x^2-3x)-(x-1))=0$
$\quad (x^2-3x+x-1)\cdot (x^2-3x-x+1)=0$
$\quad (x^2-2x-1)\cdot (x^2-4x+1)=0$.
Assim, temos que $\boxed{x^2-2x-1=0} \,$ ou $\, \boxed{x^2-4x+1=0} \,$, donde obtemos que $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=1\pm \sqrt{2}$} \,$ ou $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=2\pm \sqrt{3}$} \,$.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.