Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Ali Babão é um mestre que adora resolver equações. Propôs o seguinte problema para seus discípulos matemáticos:
- “Resolva a equação [tex]\boxed{(x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+1=x}[/tex] no conjunto dos números reais.”
Qual a solução correta?
Solução
Adicionando [tex]\textcolor{red}{x^2-3x+1}[/tex] a ambos os lados da igualdade [tex](x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+1=x \, [/tex], segue que:
[tex]\quad(x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+1\textcolor{red}{+(x^2-3x+1)}=x\textcolor{red}{+(x^2-3x+1)} [/tex]
[tex]\quad (x^2-3x+1)^2-2(x^2-3x+1)+1=(x^2-3x+1)+x[/tex]
[tex]\quad (x^2-3x+1)^2-2(x^2-3x+1)+1=x^2-2x+1[/tex]
[tex]\quad \left((x^2-3x+1)-1\right)^2=(x-1)^2[/tex]
[tex]\quad \left(x^2-3x\right)^2=(x-1)^2[/tex]
[tex]\quad (x^2-3x)^2-(x-1)^2=0[/tex]
[tex]\quad ((x^2-3x)+(x-1))\cdot ((x^2-3x)-(x-1))=0[/tex]
[tex]\quad (x^2-3x+x-1)\cdot (x^2-3x-x+1)=0[/tex]
[tex]\quad (x^2-2x-1)\cdot (x^2-4x+1)=0[/tex].
Assim, temos que [tex]\boxed{x^2-2x-1=0} \, [/tex] ou [tex] \, \boxed{x^2-4x+1=0} \, [/tex], donde obtemos que [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=1\pm \sqrt{2}$} \, [/tex] ou [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=2\pm \sqrt{3}$} \, [/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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Olhando a igualdade [tex]\boxed{\left(x^2-3x\right)^2=(x-1)^2} [/tex], resista à tentação de “cortar os quadrados” e concluir que [tex]\boxed{x^2-3x=x-1} [/tex]. |