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Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Ali Babão desafiou seu irmão caçula, Ali Babinho, a resolver, no conjunto dos números reais, a equação
Qual é o valor de [tex]B[/tex] ?
Adaptado de Problemas de Algebra y cómo resolverlos – Juan C. Ramos L..
Lembrete
Soma dos [tex]n[/tex] primeiros termos de uma P.G.: Considere a P.G. [tex]\left(a_i \right)[/tex] de razão [tex]q[/tex], com [tex]q\ne 1.[/tex]
Denotando por [tex]S_n[/tex] a soma dos [tex]n[/tex] primeiros termos dessa P.G., temos
[tex]\qquad \boxed{S_n=\dfrac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}}. [/tex]
Para aprender mais sobre Progressões geométricas, visite nossa Sala de Estudo Sequências Numéricas – Sala 2.
Solução
Seja [tex]x[/tex] um número real positivo qualquer. Vamos observar os casos iniciais de expressões do tipo [tex]\sqrt{x\sqrt{x^2\sqrt{x^3\cdots\sqrt{x^{n}}}}}.[/tex]
- Para [tex]n=2[/tex], temos
[tex]\quad \sqrt{x\sqrt{x^2}}=\sqrt{x}\sqrt{\sqrt{x^2}}=x^{\frac{1}{2}}(\sqrt{x^2})^{\frac{1}{2}}=
x^{\frac{1}{2}}(x^2)^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{2}}x^\frac{2}{2^2}.[/tex] - Já para [tex]n=3[/tex], temos
[tex]\quad \sqrt{x\sqrt{x^2\sqrt{x^3}}}=\sqrt{x}\sqrt{\sqrt{x^2}}\sqrt{\sqrt{\sqrt{x^3}}}=x^{\frac{1}{2}}x^\frac{2}{2^2}x^\frac{3}{2^3}.[/tex] - De maneira geral,
[tex]\quad \sqrt{x\sqrt{x^2\sqrt{x^3\cdots\sqrt{x^n}}}}=x^{\frac{1}{2}}x^\frac{2}{2^2}x^\frac{3}{2^3}\cdots x^\frac{n}{2^n}=x^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\cdots +\frac{n}{2^n}}.\qquad \textcolor{#800000}{(*)}[/tex]
Agora, notamos que, se [tex]S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2^2}+\cdots +\dfrac{n}{2^n}[/tex], segue que:
[tex]\quad S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2^2}+\cdots +\dfrac{n}{2^n}\\
\quad S=\dfrac{2^{n-1}+2\cdot 2^{n-2}+3\cdot 2^{n-3}+\cdots +n}{2^n}\\
\quad S=\dfrac{(2^{n-1}+2^{n-2}+ 2^{n-3}+\cdots +2^0)+(2^{n-2}+ 2^{n-3}+\cdots +2^0)+( 2^{n-3}+\cdots +2^0)+\cdots (2^1+2^0)+2^0}{2^n}.\\
~[/tex]
Por outro lado, observamos que cada parcela [tex]\boxed{2^{n-i}+2^{n-i-1}+\cdots +2^0}[/tex] pode ser vista como a soma dos [tex]n-i+1[/tex] primeiros termos de uma progressão geométrica de razão [tex]2[/tex] e termo inicial [tex]2^0=1[/tex].
Assim, pelo Lembrete, essa soma é dada por [tex]S_{i}=\dfrac{1(2^{n-i+1}-1)}{2-1}=2^{n-i+1}-1[/tex]. Portanto:
[tex]\quad S=\dfrac{(2^{n-1}+2^{n-2}+ 2^{n-3}+\cdots +2^0)+(2^{n-2}+ 2^{n-3}+\cdots +2^0)+( 2^{n-3}+\cdots +2^0)+\cdots (2^1+2^0)+2^0}{2^n}\\
\quad S=\dfrac{S_n+S_{n-1}+S_{n-2}+\cdots +S_1}{2^n}\\
\quad S=\dfrac{(2^{n}-1)+(2^{n-1}-1)+(2^{n-2}-1)+\cdots + (2^1-1)}{2^n}\\
\quad S=\dfrac{(2^{n}+2^{n-1}+2^{n-2}+\cdots + 2^1)-n}{2^n}.[/tex]
Usando novamente a fórmula do Lembrete, vemos que:
[tex]\quad S=\dfrac{2(2^{n}-1)-n}{2^n}\\
\quad S=\dfrac{2^{n+1}-n-2}{2^n}.[/tex]
Portanto, por [tex]\textcolor{#800000}{(*)}[/tex], temos:
[tex]\quad \sqrt{x\sqrt{x^2\sqrt{x^3\cdots\sqrt{x^n}}}}=x^S=x^{(2^{n+1}-n-2)/{2^n}}[/tex]
e daí, segue particularmente que
[tex]\quad \sqrt{3\sqrt{3^2\sqrt{3^3\cdots\sqrt{3^{100}}}}}=3^{(2^{100+1}-100-2)/{2^{100}}}.[/tex]
Como [tex]3^B=\sqrt{3\sqrt{3^2\sqrt{3^3\cdots\sqrt{3^{100}}}}}[/tex], concluímos que:
[tex]\quad B=\dfrac{2^{100+1}-100-2}{2^{100}}=2-\dfrac{102}{2^{100}}=2-\dfrac{51}{2^{99}}.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.