Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Determinar todas as soluções reais da seguinte equação:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{x^2}{x-1}+\sqrt{x-1}+\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{x-1}}.[/tex]
Solução
Fazendo [tex]\boxed{x^2=a} \, [/tex] e [tex] \, \boxed{\sqrt{x-1}=b}[/tex], temos também que [tex] \, \boxed{b^2=x-1}[/tex] e, portanto, podemos reescrever assim a equação dada:
[tex]\qquad \dfrac{x^2}{x-1}+\sqrt{x-1}+\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{x-1}}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{a}{b^2}+b+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{a}{b} [/tex]
[tex]\qquad a^2(1-b)+a(b^3-b)+b^3-b^4=0.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
(1) Se [tex]1-b\ne 0[/tex], temos que a equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] é uma equação do segundo grau na variável [tex]a[/tex] e, neste caso, temos que a soma de suas raízes é [tex]b^2+b[/tex] e o produto das mesmas é [tex]b^3[/tex].
Dessa forma, duas possíveis raízes de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] seriam [tex]\boxed{ a_1=b} \, [/tex] e [tex] \, \boxed{a_2=b^2} \, [/tex].
(1.1) Se [tex] a=b[/tex], teríamos [tex]x^2=\sqrt{x-1} \, [/tex], donde [tex] x^4=x-1 \, [/tex], ou ainda, [tex] x^4+1=x[/tex].
Mas observe que se [tex]x[/tex] é um número real, então ou [tex]|x|\ge 1[/tex] ou [tex]0\le |x| \lt 1[/tex].
- De [tex]|x|\ge 1[/tex] concluímos facilmente que [tex]x^4 \ge x[/tex] e, portanto, a igualdade [tex] x^4+1=x[/tex] é impossível no conjunto dos números reais.
- Se [tex]|x|\lt 1[/tex], como [tex]x^4\ge0[/tex] para todo [tex]x\in\mathbb{R}[/tex], teríamos
[tex]\qquad x^4+1 \ge 1\gt x[/tex]
e assim a igualdade [tex] x^4+1=x[/tex] também seria impossível no conjunto dos números reais.
(1.2) Se [tex]a=b^2[/tex], então [tex]x^2-x+1=0[/tex] e essa equação não possui raízes reais.
Por (1.1) e (1.2) não podemos ter [tex]1-b\ne 0[/tex].
(2) Como, necessariamente, [tex]1-b= 0[/tex], então [tex]b=1[/tex] e, portanto, [tex]\sqrt{x-1}=1[/tex], donde [tex]x=2.[/tex]
Pelo exposto, [tex]x=2[/tex] é a única raiz real da equação.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.