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Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)
Resolva no conjunto dos números reais a equação [tex]4^x+6^x=9^x.[/tex]
Extraído de Matemática. Volume único. Iezzi, etc.
Solução
Como [tex]4^x\ne 0[/tex], podemos dividir os dois membros da equação [tex]4^x+6^x=9^x[/tex] por [tex]4^x[/tex]. Desta forma, teremos:
[tex]\qquad 1+\left(\dfrac{6}{4}\right)^x=\left(\dfrac{9}{4}\right)^x.[/tex]
Como [tex]6/4=3/2~[/tex] e [tex]~9/4=(3/2)^2[/tex] nossa equação é equivalente a
[tex]\qquad 1+\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2x}.[/tex]
Fazendo a substituição [tex]y=\left(\dfrac{3}{2}\right)^x[/tex] segue que
[tex]\qquad 1+y=y^2 \\
\qquad y^2-y-1=0.[/tex]
Aplicando a fórmula resolutiva para a equação do segundo grau [tex] \boxed{y^2-y-1=0}[/tex], encontramos as raízes [tex]y_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}~[/tex] e [tex]~y_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}.[/tex]
Mas observe que [tex]y=\left(\dfrac{3}{2}\right)^x\gt 0[/tex]; logo, a solução deve ser [tex]y=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] e com isso [tex]\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^x.[/tex]
Aplicando logaritmo a ambos os lados dessa última igualdade, obtemos
[tex]\qquad x\log \left(\dfrac{3}{2}\right)=\log \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right),[/tex]
donde concluímos que
[tex]\qquad x=\dfrac{\log \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}{\log\left(\dfrac{3}{2}\right)}.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.