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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Encontre uma raiz da equação [tex]x^{x^{20}}=\sqrt[\sqrt{2}]{2}.[/tex]
Solução 1
Observe que, se fizermos [tex]\boxed{x^{20}=a}[/tex], então [tex]\boxed{x=\sqrt[20]{a}}.[/tex]
Com isso, a equação [tex]x^{x^{20}}=\sqrt[\sqrt{2}]{2}[/tex] poderá ser assim reescrita:
[tex]\qquad x^{x^{20}}=\sqrt[\sqrt{2}]{2}\\
\qquad x^a=\sqrt[\sqrt{2}]{2}\\
\qquad \left(\sqrt[20]{a}\right)^a=\sqrt[\sqrt{2}]{2}\\
\qquad \left(a^\frac{1}{20}\right)^a=2^\frac{1}{\sqrt{2}}\\
\qquad a^\frac{a}{20}=2^\frac{1}{\sqrt{2}}.\\
[/tex]
Elevando ambos os lados da última igualdade a [tex]20[/tex],obtemos:
[tex]\qquad \left(a^\frac{a}{20}\right)^{20}=\left(2^\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{20}\\
\qquad a^\frac{20a}{20}=2^\frac{20}{\sqrt{2}}\\
\qquad a^a=2^\frac{20\sqrt{2}}{2}\\
\qquad a^a=2^{10\sqrt{2}}.\\
[/tex]
Precisamos deixar o lado direito da igualdade [tex]a^a=2^{10\sqrt{2}}[/tex] na forma [tex]b^b[/tex] para algum número real positivo [tex]b[/tex]. Para isso, o primeiro passo é perceber que [tex]2=(\sqrt{2})^2[/tex] e, então, segue que:
[tex]\qquad a^a=\left[(\sqrt{2})^2\right]^{10\sqrt2}\\
\qquad a^a=\left(\sqrt2\,\right)^{20\sqrt2}.\\
[/tex]
Agora, fazemos [tex]20\sqrt2=5\cdot 4\sqrt2[/tex] e obtemos
[tex]\qquad a^a=\left(\sqrt2\,\right)^{5\cdot 4\sqrt2}.\\
[/tex]
Como [tex]4\sqrt2=(\sqrt2)^4\sqrt2=(\sqrt2)^5,[/tex] então:
[tex]\qquad a^a=\left(\sqrt2\right)^{5 (\sqrt2)^5}\\
\qquad a^a=\left(\left(\sqrt2\right)^5\right)^{(\sqrt2)^5}.\\
[/tex]
Assim, uma solução é obtida ao fazermos [tex]\boxed{a=\left(\sqrt{2}\,\right)^5}.[/tex]
Como [tex]\boxed{x^{20}=a}[/tex], segue que:
[tex]\qquad x^{20}=\left(\sqrt2\,\right)^5\\
\qquad x=\left[(\sqrt2\,)^5\right]^{\frac{1}{20}}\\
\qquad x=\left(\sqrt2\,\right)^\frac{5}{20}\\
\qquad x=\left(\sqrt2\,\right)^\frac{1}{4}\\
\qquad x=\left(2^{1/2\,}\right)^\frac{1}{4}=2^\frac{1}{8},[/tex]
ou seja, [tex]\boxed{x=\sqrt[8]{2}}[/tex].
Com efeito, observe que
[tex]\qquad \left(2^\frac{1}{8}\right)^{\left(2^\frac{1}{8}\right)^{20}}=\left(2^\frac{1}{8}\right)^{\left(2^\frac{20}{8}\right)}=\left(2^{\left(2^{-3}\right)}\right)^{\left(2^{\frac{5}{2}}\right)}
=\left(2\right)^{(2^{-3}~\cdot~ 2^{\frac{5}{2}})}=
2^{2^{^{\left(\frac{-1}{2}\right)}}}=2^{^{\frac{1}{\sqrt{2}}}}=\sqrt[\sqrt{2}]{2}.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Para [tex]x^{20}=a[/tex], podemos escrever a equação da seguinte forma: [tex]x^a=2^{\frac{1}{\sqrt2}}.[/tex]
Por outro lado, se [tex]x^{20}=a[/tex], então [tex]\left(x^{20}\right)^\frac{1}{20}=\left(a\right)^\frac{1}{20}[/tex], ou seja, [tex]\boxed{x=\left(a\right)^\frac{1}{20}}.[/tex]
Dessa forma, segue que:
[tex]\qquad x^a=2^{\frac{1}{\sqrt2}}[/tex]
[tex]\qquad \left( \left(a\right)^\frac{1}{20}\right)^{a}=2^{\frac{1}{\sqrt2}}[/tex]
[tex]\qquad a^\frac{a}{20}=2^{\frac{1}{\sqrt2}}[/tex]
[tex]\qquad \left(a^\frac{a}{20}\right)^{20}=\left(2^{\frac{1}{\sqrt2}}\right)^{20}[/tex]
[tex]\qquad a^a=2^{\frac{20}{\sqrt2}}[/tex]
[tex]\qquad a^a=2^{10\sqrt2}.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Para deixarmos [tex]2^{10\sqrt2}[/tex] em uma forma [tex]a^a[/tex], basta fazermos uma manipulação de forma que, ao dividirmos [tex]10\sqrt2[/tex] por [tex]b[/tex], tenhamos um valor igual a [tex]2^b[/tex]. Para isso, vamos montar a seguinte equação:
[tex]\qquad \dfrac{10\sqrt2}{b}=2^b \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
[tex]\qquad 10\sqrt2=2^b \cdot b.[/tex]
Dividindo ambos os lados da última igualdade por [tex]\sqrt2[/tex], segue que:
[tex]\qquad 10=2^{b-0,5} \cdot b.[/tex]
A partir daí, não podemos ter um valor para [tex]b[/tex] tal que [tex]b-0,5[/tex] resulte em um valor que não pertença ao conjunto dos naturais, pois desse modo teríamos um resultado irracional para o produto. Dessa forma, [tex]b[/tex] deve ser um valor pertencente ao conjunto dos números racionais e escrito da forma [tex]n+0,5[/tex] tal que [tex]n[/tex] pertença ao conjunto dos números naturais (ou seja, [tex]b[/tex] termina em [tex],5[/tex]). Além disso, sendo [tex]10[/tex] um valor entre [tex]2^{1,5} \cdot 2~[/tex] e [tex]~2^{2,5} \cdot 3[/tex], o único valor que nos resta para [tex]b[/tex] é [tex]b=2,5[/tex]:
[tex]\qquad 10=2^{2,5-0,5} \cdot 2,5[/tex]
[tex]\qquad 10=4 \cdot 2,5[/tex]
[tex]\qquad 10=10.[/tex]
Portanto, de fato, [tex]b=2,5.[/tex]
Voltando à equação [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], temos:
[tex]\qquad \dfrac{10\sqrt2}{2,5}=2^{2,5}\\
\qquad10\sqrt2=2,5 \cdot2^{2,5}[/tex]
e, portanto, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], temos que:
[tex]\qquad (2^{2,5})^{4\sqrt2}=a^a[/tex]
[tex]\qquad a=4\sqrt2.[/tex]
Sendo [tex]x=a^{\frac{1}{20}}[/tex]:
[tex]\qquad x=4\sqrt2^{\frac{1}{20}}[/tex]
[tex]\qquad x=(32^{0,5})^{0,05}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{x=32^{0,025}}.[/tex]
Solução elaborada pelo COM Geomestres Slay, com contribuições dos Moderadores do Blog.