✏ Link do problema para dispositivos da Apple.
Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] reais positivos tais que [tex]x ^ 3 + y ^ 3 + (x + y) ^ 3 + 30xy = 2000[/tex].
Mostre que [tex] x + y = 10 [/tex].
Adaptado de Junior Balkan Mathematical Olympiad, 2000.
Solução 1
Um raciocínio muito útil em problemas olímpicos (e não só neles!) é raciocinar de trás para frente!
No nosso problema, para mostrar que [tex] x + y = 10 [/tex], seria muito bom se [tex]x+y-10[/tex] fatorasse a expressão do lado esquerdo da igualdade
[tex]\qquad x ^ 3 + y ^ 3 + (x + y) ^ 3 + 30xy-2000=0. \qquad \textcolor{$800000}{(i)}[/tex]
Observe que podemos conseguir essa fatoração como segue.
- Primeiro, somamos e subtraímos [tex]3x^2y+3xy^2[/tex] do lado esquerdo da igualdade [tex]\textcolor{$800000}{(i)}[/tex]:
[tex]\qquad x ^ 3 + y ^ 3 + (x + y) ^ 3 + 30xy – 2000+(3x^2y+3xy^2-3x^2y-3xy^2)=0. \qquad \textcolor{$800000}{(ii)}[/tex] - Rearranjando a igualdade [tex]\textcolor{$800000}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad (x ^ 3 + 3x^2y+3xy^2+y ^ 3) + (x + y) ^ 3 -3x^2y-3xy^2 +30xy-2000=0\\
\qquad 2(x + y) ^ 3 -3x^2y-3xy^2 +30xy-2000=0. \qquad \textcolor{$800000}{(iii)}[/tex] - Colocando alguns termos em evidência em [tex]\textcolor{$800000}{(iii)}[/tex], temos:
[tex]\qquad 2((x + y) ^ 3-1000)-3xy(x+y-10)=0.\qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
Observe que, pela fatoração da diferença de dois cubos,
[tex]\qquad \boxed{(x + y)^3-1000}=(x + y)^3-10^3=\boxed{(x+y-10)\left[(x+y)^2+10(x+y)+10^2\right]}.[/tex]
Logo, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] que:
[tex]\qquad 2(x+y-10)[(x+y)^2+10(x+y)+10^2]-3xy(x+y-10)=0,\\
\qquad (x+y-10) \cdot \{2\left[(x+y)^2+10(x+y)+10^2\right]-3xy\}=0.\qquad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
Assim, concluímos de [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex] que:
- [tex](x+y-10)=0[/tex] (e acabamos a questão) ou
- [tex]2((x+y)^2+10(x+y)+10^2)-3xy=0.[/tex]
Essa última opção não ocorre; vejamos porque.
Podemos reescrever [tex]2((x+y)^2+10(x+y)+10^2)-3xy~[/tex] como
[tex]\qquad 2((x+y)^2+10(x+y)+10^2)-3xy=2(x^2+y^2+10x+10y+100)+xy,[/tex]
e, como [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são positivos, então
[tex]\qquad 2((x+y)^2+10(x+y)+10^2)-3xy=2(x^2+y^2+10x+10y+100)+xy\gt0.[/tex]
Logo, de fato, [tex](x+y-10)=0[/tex], ou seja, [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x+y=10$}\,[/tex], como queríamos demonstrar.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Manipulando algebricamente a igualdade, segue que:
[tex]\qquad x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000\\
\qquad x^3+y^3+30xy=2000-(x+y)^3\\
\qquad (x+y)(x^2-xy+y^2)+30xy=2000-(x+y)^3\\
\qquad (x+y)((x+y)^2-3xy)+30xy=2000-(x+y)^3\\
\qquad (x+y)^3-3xy(x+y)+30xy=2000-(x+y)^3\\
\qquad -3xy(x+y)+30xy=2000-2(x+y)^3\\
\qquad 30xy-3xy(x+y)=2000-2(x+y)^3\\
\qquad 3xy(10-(x+y))=2(1000-(x+y)^3)\\
\qquad 3xy(10-(x+y))=2(10-(x+y))(100+10(x+y)+(x+y)^2).\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Observe que podemos ter o caso [tex]10-(x+y)=0[/tex] ou podemos simplificar [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] por [tex]10-(x+y)[/tex], obtendo
[tex]\qquad 3xy=2(100+10(x+y)+(x+y)^2)\\
\qquad 2(x^2+y^2+10x+10y+100)+xy=0.[/tex]
Mas, nesse caso, observe que, sendo [tex]x\gt0[/tex] e [tex]y\gt0[/tex], não existem valores para [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] que satisfaçam a igualdade [tex]2(x^2+y^2+10x+10y+100)+xy=0[/tex], pois é impossível existir uma parcela negativa nessa soma.
Logo, vale o caso [tex]\,10-(x+y)=0\,[/tex] e, portanto, [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x+y=10$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelo COM Geomestres Slay, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Para aprender mais…
Para aprender mais sobre manipulações algébricas, convidamos você para visitar a Sala Malabarismos aritméticos e algébricos.