.Problema: Ali Babão e a oitava de suas 40 equações

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

Sabendo que [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números naturais maiores que [tex]1[/tex], resolva a seguinte equação:
[tex]\qquad \qquad a+b+c+a \cdot b+b \cdot c+a \cdot c+a \cdot b \cdot c=2000[/tex].

Solução

A partir da igualdade [tex] a+b+c+a \cdot b+b \cdot c+a \cdot c+a \cdot b \cdot c=2000[/tex], podemos percorrer o seguinte caminho:

Colocar [tex]a[/tex] em evidência:

[tex] \qquad a \cdot(b+c+b\cdot c + 1) +b+c+ b\cdot c = 2000 [/tex].

Adicionar [tex]1[/tex] a ambos os lados da igualdade obtida:

[tex] \qquad a \cdot(b+c+b\cdot c + 1) +b+c+ b\cdot c +1 = 2001 [/tex].

Por a expressão [tex]b+c+b\cdot c + 1[/tex] em evidência:

[tex] \qquad (b+c+b\cdot c + 1) \cdot (a+1) = 2001 \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex].

Agora, note que:
[tex]\qquad b+c+b\cdot c + 1=b \cdot (c+1)+c+1=(c+1)\cdot (b+1)[/tex],
portanto, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], que:
[tex]\qquad (a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1)=2001[/tex].
Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, fatorando [tex]2001[/tex] em produtos de números primos, segue que
[tex]\quad (a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1)=3\cdot 23 \cdot 29[/tex].
Como [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números naturais maiores que [tex]1[/tex], sem perda de generalidade, faremos:
[tex]\qquad a+1=3[/tex], donde [tex]a=2[/tex],
[tex]\qquad b+1=23[/tex], donde [tex] b=22[/tex],
[tex]\qquad c+1=29[/tex], donde [tex]c=28[/tex].
Podemos permutar os valores [tex]2, 22, 28 [/tex] e concluir, finalmente, que a equação dada possui seis soluções: