.Desafio: Ali Babão e a Vigésima Nona de suas 40 Equações – Na verdade, é um curioso sistema!

Problema
(Indicado para $3^\circ$ Ano EM)

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Sabendo que $a$, $b$ e $c$ são números reais positivos tais que $a \lt b+c$, $b \lt a+c$ e $c \lt a+b$, resolva o sistema abaixo no conjunto dos números reais positivos.

$\begin{cases} \sqrt{xy}+\sqrt{xz}-x=a\\ \sqrt{yz}+\sqrt{yx}-y=b\\ \sqrt{zx}+\sqrt{zy}-z=c \\ \end{cases}~~$.

Extraído de Revista do Clube de Matemáticos.

Solução

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Observe que $x \ne 0$, $y \ne 0$ e $z \ne 0$; pois, caso contrário, teríamos respectivamente $a=0$, $b=0$ e $c=0$, contrariando a hipótese de que $a$, $b$ e $c$ são números positivos.
Assim, dividindo-se sequencialmente as equações do sistema em questão por $\sqrt{x}$, $\sqrt{y}$ e $\sqrt{z}$, respectivamente, temos:

$\qquad \begin{cases} \sqrt{y}+\sqrt{z}-\sqrt{x}=\dfrac{a}{\sqrt{x}}\\ \sqrt{z}+\sqrt{x}-\sqrt{y}=\dfrac{b}{\sqrt{y}}\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}=\dfrac{c}{\sqrt{z}}\\ \end{cases}~~$.

Agora, adicionando todas as equações, obtemos:
$\qquad \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\dfrac{a}{\sqrt{x}}+\dfrac{b}{\sqrt{y}}+\dfrac{c}{\sqrt{z}}.$
Por outro lado, observe que
$\qquad \dfrac{a}{\sqrt{x}} = \sqrt{y}+\sqrt{z}-\sqrt{x}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-2\sqrt{x}=\dfrac {a}{\sqrt{x}}+\dfrac {b}{\sqrt{y}}+\dfrac {c}{\sqrt{z}}-2\sqrt{x}$
e, portanto,
$\qquad \dfrac {b}{\sqrt{y}}+\dfrac {c}{\sqrt{z}} = 2\sqrt{x}.$
Dividindo a última equação por $\sqrt{x}$, temos:
$\qquad \dfrac{b}{\sqrt{xy}}+\dfrac{c}{\sqrt{xz}}=2.$
Analogamente, obtemos:
$\qquad \dfrac{a}{\sqrt{xy}}+\dfrac{c}{\sqrt{yz}}=2$
$\qquad\dfrac{a}{\sqrt{xz}}+\dfrac{b}{\sqrt{yz}}=2$
e, com isso, agora temos o seguinte sistema:

$\qquad \begin{cases} \dfrac{b}{\sqrt{xy}}+\dfrac{c}{\sqrt{xz}}=2\\ \dfrac{a}{\sqrt{xy}}+\dfrac{c}{\sqrt{yz}}=2\\ \dfrac{a}{\sqrt{xz}}+\dfrac{b}{\sqrt{yz}}=2\\ \end{cases}~~$.

Vamos fazer $\dfrac{1}{\sqrt{xy}}=u$, $\dfrac{1}{\sqrt{xz}}=v$ e $\dfrac{1}{\sqrt{yz}}=w$; dessa forma, o sistema anterior passa a ser escrito como:

$\qquad \begin{cases} bu+cv=2 \qquad \textcolor{#800000}{(I)}\\ au+cw=2 \qquad \textcolor{#800000}{(II)}\\ av+bw=2 \qquad \textcolor{#800000}{(III)}\\ \end{cases}~~$.

De $(I)$, obtemos
$\qquad v=\dfrac{2-bu}{c} \qquad \textcolor{#800000}{(IV)}$.
Substituindo $\textcolor{#800000}{(IV)}$ em $\textcolor{#800000}{(III)}$, pode-se formar um novo sistema com a equação $\textcolor{#800000}{(II)}$; veja:

$\qquad\begin{cases} au+cw=2\\ a \left(\dfrac{2-bu}{c}\right)+bw=2\\ \end{cases}~.$

Após algumas continhas, obtemos:

$\qquad\begin{cases} au+cw=2\\ -abu+bwc=2c-2a\\ \end{cases}~.$

Ao resolvermos o último sistema, obtemos: $w=\dfrac{-a+b+c}{bc}$ e $u=\dfrac{a+b-c}{ab}$; usando a equação $\textcolor{#800000}{(I)}$, obtemos $v=\dfrac{a-b+c}{ac}$.

Agora, como $\dfrac{1}{\sqrt{xy}}=u$, obtemos:

$\qquad \dfrac{1}{\sqrt{xy}}=\dfrac{a+b-c}{ab}\\ \qquad xy=\dfrac{a^2b^2}{(a+b-c)^2}. \qquad \textcolor{#800000}{(V)}$
Observe que de $\dfrac{1}{\sqrt{xz}}=v$ segue que:

$\qquad \dfrac{1}{\sqrt{xz}}=\dfrac{a-b+c}{ac} \\ \qquad xz=\dfrac{a^2c^2}{(a-b+c)^2} \qquad \textcolor{#800000}{(VI)}$
e de $\dfrac{1}{\sqrt{yz}}=w$ obtemos:

$\qquad \dfrac{1}{\sqrt{yz}}=\dfrac{-a+b+c}{bc} \\ \qquad yz=\dfrac{b^2c^2}{(-a+b+c)^2}. \qquad \textcolor{#800000}{(VII)}$

Multiplicando $\textcolor{#800000}{(V)}$, $\textcolor{#800000}{(VI)}$ e $\textcolor{#800000}{(VII)}$, obtemos:

$\qquad x^2y^2z^2=\dfrac{a^4b^4c^4}{(a+b-c)^2(a-b+c)^2(-a+b+c)^2}.$

Extraindo a raiz quadrada dessa última expressão, temos:
$\qquad xyz=\dfrac{|a^2b^2c^2|}{|a+b-c||a-b+c||-a+b+c|}.$

Como as expressões que aparecem nos módulos são todas positivas,
$\qquad xyz=\dfrac{a^2b^2c^2}{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}$

e, assim:

• $x=\dfrac{xyz}{yz}=\dfrac{a^2b^2c^2}{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} \cdot \dfrac{(-a+b+c)^2}{b^2c^2}\\ \boxed{x=\dfrac{a^2(-a+b+c)}{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}};$
• $y=\dfrac{xyz}{xz}=\dfrac{a^2b^2c^2}{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} \cdot \dfrac{(a-b+c)^2}{a^2c^2}\\ \boxed{y=\dfrac{b^2(a-b+c)}{(a+b-c)(-a+b+c)}};$
• $z=\dfrac{xyz}{xy}=\dfrac{a^2b^2c^2}{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} \cdot \dfrac{(a+b-c)^2}{a^2b^2}\\ \boxed{z=\dfrac{c^2(a+b-c)}{(a-b+c)(-a+b+c)}}.$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.