Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(Olimpíada Cearense de Matemática 1986 – Ensino Fundamental) Resolva a equação [tex]\boxed{\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3}\,.[/tex]
Solução
Fazendo [tex]x-9=y^3[/tex], obtemos [tex]\boxed{x=y^3+9}[/tex]; substituindo essa expressão na equação do enunciado, segue que:
[tex]\qquad \sqrt[3]{y^3+18}-y=3[/tex]
[tex]\qquad \sqrt[3]{y^3+18}=y+3\, .[/tex]
Elevando ambos os membros dessa última igualdade ao cubo, vem:
[tex]\qquad \left(\sqrt[3]{y^3+18}\right)^3=\left(y+3\right)^3[/tex]
[tex]\qquad y^3+18=y^3+9y^2+27y+27[/tex]
[tex]\qquad 9y^2+27y+9=0[/tex]
[tex]\qquad y^2+3y+1=0[/tex]
e resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos [tex]y=\dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}[/tex].
Assim, [tex]\boxed{x=y^3+9=\left(\dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}\right)^3+9}[/tex], de onde obtemos as soluções:
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_1=\left(\dfrac{-3 – \sqrt{5}}{2}\right)^3+9$}\qquad [/tex] e [tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_2=\left(\dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}\right)^3+9$}\, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.