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Problema
(Indicado a partir do 2º série do E. M.)
Resolva a equação [tex]4x^{4}-ax^{3}+bx^{2}-cx+5=0[/tex], sabendo que todas as raízes [tex]x_{1}, x_{2}, x_{3} [/tex] e [tex] x_{4}[/tex] são reais e positivas e que [tex]\dfrac{x_{1}}{2}+\dfrac{x_{2}}{4}+\dfrac{x_{3}}{5}+\dfrac{x_{4}}{8}=1.[/tex]
Extraído de Olímpiada Internacional.
Lembretes
(I) Dada uma equação algébrica [tex]ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0[/tex] cujas raízes são [tex]x_{1}, x_{2}, x_{3} [/tex] e [tex]x_{4}[/tex] é válido o seguinte resultado:
[tex]\qquad x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4}=\dfrac{e}{a}[/tex] (Relação de Girard).
(II) A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica; assim, dados os números reais positivos [tex]x_{1}, x_{2}, x_{3} [/tex] e [tex]x_{4}[/tex] temos:
Mais do que isso, se [tex]\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{4}=\sqrt[4]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4}}[/tex] , então [tex]x_{1}= x_{2}= x_{3}= x_{4} [/tex].
Solução
Do enunciado, temos que [tex]\dfrac{x_{1}}{2}+\dfrac{x_{2}}{4}+\dfrac{x_{3}}{5}+\dfrac{x_{4}}{8}=1[/tex]; portanto, [tex]\dfrac{\dfrac{x_{1}}{2}+\dfrac{x_{2}}{4}+\dfrac{x_{3}}{5}+\dfrac{x_{4}}{8}}{4}=\dfrac{1}{4}[/tex].
Por outro lado, dada a equação [tex]4x^{4}-ax^{3}+bx^{2}-cx+5=0[/tex], pelo Lembrete (I) , podemos afirmar que [tex]x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4}=\dfrac{5}{4}.[/tex]
Assim, segue que:
[tex]\qquad \sqrt[4]{\dfrac{x_{1}}{2} \cdot \dfrac{x_{2}}{4} \cdot \dfrac{x_{3}}{5} \cdot \dfrac{x_{4}}{8}}=[/tex] [tex]\sqrt[4]{\dfrac{\dfrac{5}{4}}{2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 8}}=\sqrt[4]{\dfrac{1}{256}}=\dfrac{1}{4}.[/tex]
Daí, concluímos que a média aritmética dos elementos [tex]\dfrac{x_{1}}{2}[/tex], [tex]\dfrac{x_{2}}{4}[/tex], [tex]\dfrac{x_{3}}{5}[/tex] e [tex]\dfrac{x_{4}}{8}[/tex] é igual à média geométrica e, portanto, pelo Lembrete (II) , temos que [tex]\dfrac{x_{1}}{2}=\dfrac{x_{2}}{4}=\dfrac{x_{3}}{5}=\dfrac{x_{4}}{8}[/tex].
Dessa forma, podemos deduzir que [tex]\boxed{x_{2}=2x_{1}}[/tex], [tex]~\boxed{x_{3}=\dfrac{5x_{1}}{2}}~[/tex] e [tex]~\boxed{x_{4}=4x_{1}}.[/tex]
Substituindo essas três informações na equação [tex]x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4}=\dfrac{5}{4}[/tex], temos que:
[tex]\qquad x_{1} \cdot 2x_{1} \cdot \dfrac{5x_{1}}{2} \cdot 4x_{1}=\dfrac{5}{4}\\
\qquad {x_{1}}^4=\dfrac{1}{16}.[/tex]
Como as raízes são números reais positivos, segue que [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_{1}=\dfrac{1}{2}$}\,[/tex] e, com isso, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_{2}=1$}\,[/tex], [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_{3}=\dfrac{5}{4}$}\,[/tex] e [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_{4}=2$}\,.[/tex]
Uma observação importante é que, com os valores das raízes, podemos encontrar os valores dos coeficientes [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] utilizando as outras relações de Girard.
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