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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Encontre as soluções reais da equação:
[tex]\quad \quad \sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}=\sqrt{x+3}\,.[/tex]
(IME-2014/2015– 2º Fase.)
Solução
► Vamos começar elevando ao quadrado os dois membros da igualdade dada no problema:
[tex]\quad (\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}})^2=(\sqrt{x+3})^2\\
\quad \bigg(\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}\bigg)^2+2\cdot \sqrt{x+\sqrt{4x-4}}\cdot \sqrt{x-\sqrt{4x-4}}+\bigg(\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}\bigg)^2=x+3\\
\quad x+\cancel{\sqrt{4x-4}}+2\sqrt{(x+\sqrt{4x-4})\cdot (x-\sqrt{4x-4})}+x-\cancel{\sqrt{4x-4}}=x+3\\
\quad 2x+2\sqrt{x^2-\cancel{x\sqrt{4x-4}}+\cancel{x\sqrt{4x-4}}-(\sqrt{4x-4})^2}=x+3\\
\quad 2x+2\sqrt{x^2-(4x-4)}=x+3\\
\quad 2\sqrt{x^2-4x+4}=x+3-2x\\
\quad 2\sqrt{x^2-4x+4}=3-x.\\
[/tex]
► Elevando também ambos os membros da igualdade obtida ao quadrado, segue que:
[tex]\quad \bigg(2\sqrt{x^2-4x+4}\bigg)^2=(3-x)^2\\
\quad 4(x^2-4x+4)=9-6x+x^2\\
\quad 4x^2-16x+16=9-6x+x^2\\
\quad 4x^2-16x+16-9+6x-x^2=0\\
\quad 3x^2-10x+7=0.\\
[/tex]
► Vamos resolver a equação do [tex]2^{\circ}[/tex] grau que obtivemos.
Observe que considerando os coeficientes da equação como [tex]a=3[/tex], [tex]b=-10[/tex] e [tex]c=7[/tex]; então:
[tex]\quad \Delta=b^2-4ac[/tex]
[tex]\quad \Delta=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 7[/tex]
[tex]\quad \Delta=100-84[/tex]
[tex]\quad \Delta=16.[/tex]
Assim,
[tex]\quad x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\
\quad x=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{16}}{2\cdot 3}\\
\quad x=\dfrac{10\pm 4}{6}[/tex]
donde:
[tex]\quad \begin{cases} x=\dfrac{10-4}{6}=\dfrac{6}{6}=1\\
\text{ou} \\
x=\dfrac{10+4}{6}=\dfrac{14}{6}=\dfrac{7}{3}
\end{cases}\quad .[/tex]
- Observe que se [tex]z=5[/tex], então podemos concluir que [tex]z^2=25[/tex], uma vez que
[tex]\quad z^2=z\cdot z=5\cdot 5=25 \, .[/tex]
No entanto, se [tex]z^2=25[/tex] e se não tivermos outras informações sobre [tex]z[/tex], então não podemos simplesmente concluir que [tex]z=5[/tex], pois poderíamos ter [tex]z=-5.[/tex]
Em termos de símbolos, estamos afirmando que
[tex]\qquad z=5 \Rightarrow z^2=25 [/tex],
mas que
[tex]\qquad z^2=25 \nRightarrow z=5[/tex],
e, com isso,
[tex]\qquad z^2=25 \nLeftrightarrow z=5[/tex],
o que quer dizer que as duas equações não são equivalentes.
E se duas equações não são equivalentes, elas não têm necessariamente as mesmas soluções!
Precisamos verificar que as soluções da equação [tex]\, 3x^2-10x+7=0[/tex] são, de fato, soluções da equação dada no problema.
- Se [tex]x=1[/tex] temos que:
[tex]\quad\fcolorbox{black}{#DAE4EA}{$\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}$}=\\
\qquad =\sqrt{1+\sqrt{4\cdot 1-4}}+\sqrt{1-\sqrt{4\cdot 1-4}}=\fcolorbox{black}{#DAE4EA}{$2$}[/tex]
e
[tex]\quad \fcolorbox{black}{#DAE4EA}{$\sqrt{x+3}$}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=\fcolorbox{black}{#DAE4EA}{$2$}.[/tex]
Assim, [tex]x=1[/tex] é uma solução da equação do problema. - Se [tex]x=\dfrac{7}{3}[/tex] temos que:
[tex]\quad \fcolorbox{black}{#FFE5B4}{$\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}$}=\\
\quad = \sqrt{\dfrac{7}{3}+\sqrt{4\cdot \dfrac{7}{3}-4}}+\sqrt{\dfrac{7}{3}-\sqrt{4\cdot \dfrac{7}{3}-4}}=\\
\quad=\sqrt{\dfrac{7}{3}+\sqrt{\dfrac{16}{3}}}+\sqrt{\dfrac{7}{3}-\sqrt{\dfrac{16}{3}}}=\\
\quad=\sqrt{\dfrac{7}{3}+\dfrac{4}{\sqrt{3}}}+\sqrt{\dfrac{7}{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}}=\\
\quad=\sqrt{\dfrac{7}{3}+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}}+\sqrt{\dfrac{7}{3}-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}}=\\
\quad=\dfrac{\sqrt{7+4\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{7-4\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}=\\
\quad=\dfrac{\sqrt{2^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}+\sqrt{2^2-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}}{\sqrt{3}}=\\
\quad=\dfrac{\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}+\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}}{\sqrt{3}}=\\
\quad=\dfrac{2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\fcolorbox{black}{#FFE5B4}{$\dfrac{4}{\sqrt{3}}$}[/tex]
e
[tex]\quad \fcolorbox{black}{#FFE5B4}{$\sqrt{x+3}$}=\sqrt{\dfrac{7}{3}+3}=\sqrt{\dfrac{7+9}{3}}=\sqrt{\dfrac{16}{3}}= \fcolorbox{black}{#FFE5B4}{$\dfrac{4}{\sqrt{3}}$}.[/tex]
Assim, [tex]x=\dfrac{7}{3}[/tex] é também uma solução da equação do problema.
Portanto, as soluções da equação [tex]\;\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}=\sqrt{x+3}\;\;[/tex]são [tex]\;\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1 \text{ e } \dfrac{7}{3}$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.