Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Para que valores reais [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] a igualdade [tex]\boxed{5x^{2}+5y^{2}+8xy+2y-2x+2=0}\,[/tex] é verdadeira?
Extraído de Problemas de Matemática Elementar; V. B. Lidski,1972
Solução
Vamos reescrever a equação [tex]5x^{2}+5y^{2}+8xy+2y-2x+2=0[/tex] da seguinte forma:
[tex]\qquad 4x^{2}+x^{2}+4y^{2}+y^{2}+8xy+2y-2x+1+1=0[/tex].
Agrupando convenientemente algumas parcelas teremos:
[tex]\qquad \left(4x^{2}+8xy+4y^{2}\right)+\left(x^{2}-2x+1\right)+\left(y^{2}+2y+1\right)=0[/tex],
o que nos permite fatorar as três parcelas
[tex]\qquad(2x+2y)^{2}+(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=0[/tex]
e obter uma soma de três quadrados igual a zero.
Como cada parcela é um número não negativo, essa igualdade só será válida se as três parcelas forem iguais a zero. Mas lembre-se de que o único número real cujo quadrado é zero é o próprio zero; assim:
- De [tex](2x+2y)^{2}=0[/tex], segue que [tex] 2x+2y=0 [/tex], donde concluímos que [tex]x=-y[/tex].
- De [tex](x-1)^{2}=0[/tex], segue que [tex] x-1=0 [/tex], donde concluímos que [tex]x =1[/tex].
- De [tex](y+1)^{2}=0[/tex], segue que [tex] y+1=0 [/tex], donde concluímos que [tex]y=-1[/tex].
Portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=1$}\;[/tex] e [tex]\;\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y=-1$}\,.[/tex]
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