Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(OBM) Determine todos os pares ordenados de inteiros [tex](x,y)[/tex] tais que [tex]9xy-x^{2}-8y^2=2005[/tex].
Solução
- Vamos reescrever a equação [tex]9xy-x^{2}-8y^2=2005[/tex] da seguinte forma:
- Pondo em evidência os fatores [tex]8y[/tex] e [tex](-x)[/tex], obtemos:
- Agora, pondo [tex](x-y)[/tex] em evidência, segue que:
[tex]\qquad xy+8xy-x^2-8y^2=2005\, .[/tex]
[tex]\qquad 8y(x-y)-x(x-y)=2005\, .[/tex]
[tex]\qquad (x-y)(8y-x)=2005\, .[/tex]
Como o enunciado pede apenas as soluções inteiras, [tex]x-y[/tex] e [tex]8y-x[/tex] devem ser números inteiros. Portanto, devem ser divisores inteiros de [tex]2005[/tex] e temos oito sistemas a estudar:
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\ x-y & 8y-x & x & y \\ \hline
1 & 2005 & x \not \in \mathbb{Z} & y \not \in \mathbb{Z} \\ \hline
2005 & 1 & x \not \in \mathbb{Z} & y \not \in \mathbb{Z} \\ \hline
-1 & -2005 & x \not \in \mathbb{Z} & y \not \in \mathbb{Z} \\ \hline
-2005 & -1 & x \not \in \mathbb{Z} & y \not \in \mathbb{Z} \\ \hline
5 & 401 & 63 & 58 \\ \hline
401 & 5 & 459 & 58 \\ \hline
-5 & -401 & -63 & -58 \\ \hline
-401 & -5 & -459 & -58 \\ \hline
\end{array}[/tex]
(Observe que [tex]401[/tex] é um número primo.)
Portanto, temos quatro pares ordenados de inteiros [tex](x,y)[/tex] que satisfazem a igualdade do problema:
- [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(63,58)$}\, ,\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(459,58)$}\, , \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(-63,-58)$}\, ,\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ (-459,-58)$}\, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.