.Problemão: Ali Babão e a décima segunda de suas 40 equações

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

(OBM) Determine todos os pares ordenados de inteiros $(x,y)$ tais que $9xy-x^{2}-8y^2=2005$.

Solução

• Vamos reescrever a equação $9xy-x^{2}-8y^2=2005$ da seguinte forma:

$\qquad xy+8xy-x^2-8y^2=2005\, .$

• Pondo em evidência os fatores $8y$ e $(-x)$, obtemos:

$\qquad 8y(x-y)-x(x-y)=2005\, .$

• Agora, pondo $(x-y)$ em evidência, segue que:

$\qquad (x-y)(8y-x)=2005\, .$

Como o enunciado pede apenas as soluções inteiras, $x-y$ e $8y-x$ devem ser números inteiros. Portanto, devem ser divisores inteiros de $2005$ e temos oito sistemas a estudar:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \ x-y & 8y-x & x & y \\ \hline 1 & 2005 & x \not \in \mathbb{Z} & y \not \in \mathbb{Z} \\ \hline 2005 & 1 & x \not \in \mathbb{Z} & y \not \in \mathbb{Z} \\ \hline -1 & -2005 & x \not \in \mathbb{Z} & y \not \in \mathbb{Z} \\ \hline -2005 & -1 & x \not \in \mathbb{Z} & y \not \in \mathbb{Z} \\ \hline 5 & 401 & 63 & 58 \\ \hline 401 & 5 & 459 & 58 \\ \hline -5 & -401 & -63 & -58 \\ \hline -401 & -5 & -459 & -58 \\ \hline \end{array}$
(Observe que $401$ é um número primo.)

Portanto, temos quatro pares ordenados de inteiros $(x,y)$ que satisfazem a igualdade do problema:

• $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(63,58)$}\, ,\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(459,58)$}\, , \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(-63,-58)$}\, ,\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ (-459,-58)$}\, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.