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Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Fácil)
Mais um problema proposto pelo mestre Ali Babão aos seus discípulos menores!
- Se [tex]9^m+9^m+9^m=3^{999}[/tex], determine [tex]m.[/tex]
Qual é a solução do problema proposto pelo mestre?
Lembretes
(L1) Produto de potências de mesma base
Seja [tex]a[/tex] um número real positivo. Se [tex]x \, [/tex] e [tex] \, y[/tex] são números reais quaisquer, então:
[tex]\qquad \boxed{a^x \cdot a^y=a^{x+y}} \, .[/tex]
(L2) Potência de potência
Seja [tex]a[/tex] um número real positivo. Se [tex]x \, [/tex] e [tex] \, y[/tex] são números reais quaisquer, então:
[tex]\qquad \boxed{\left(a^x\right)^y =a^{x \, \cdot \, y}} \, .[/tex]
(L3) Igualdade de potências de mesma base
Seja [tex]a[/tex] um número real positivo tal que [tex]a \ne 1[/tex].
Se [tex]a^x=a^y \, [/tex], então [tex]x=y \, .[/tex]
Em símbolos: [tex] \boxed{a^x=a^y \Rightarrow x=y} [/tex]
Solução
A partir da igualdade proposta pelo mestre Ali Babão, segue que:
[tex]\qquad 9^m+9^m+9^m=3^{999}[/tex]
[tex]\qquad 3\cdot 9^m=3^{999}[/tex]
[tex]\qquad 3\cdot \left(3^2 \right)^m=3^{999}[/tex]
[tex]\qquad 3\cdot 3^{2m}\stackrel{\textcolor{#800000}{(L2)}}{=}3^{999}[/tex]
[tex]\qquad 3^1\cdot 3^{2m}=3^{999}[/tex]
[tex]\qquad 3^{1+2m}\stackrel{\textcolor{#800000}{(L1)}}{=}3^{999} \, . \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Utilizando o [tex]\textcolor{#800000}{L3}[/tex], segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que [tex]\boxed{1+2m=999}[/tex], donde [tex]\boxed{2m=998}[/tex] ou, ainda, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=499$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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