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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Determine a soma e o produto das raízes reais da equação:
Extraído de IX OCM EF.
Lembretes e notações
Relações de Girard para Equações do [tex]2^\circ[/tex] grau:
Dada a equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] que possui raízes [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex], então:
Solução
Inicialmente, façamos [tex]y= x^2+18x+30[/tex]. Dessa forma, a equação original se reduz a [tex]\boxed{y=2 \sqrt{y+15}}.[/tex]
Elevando ambos os membros desta última equação ao quadrado, obtemos:
[tex]\qquad y^2=4 \cdot (y+15)\\
\qquad y^2=4y+60\\
\qquad y^2-4y-60=0.[/tex]
O discriminante da equação obtida é [tex]~\Delta = (-4)^2-4 \cdot 1 \cdot (-60)=256[/tex] e, portanto, suas raízes são
[tex]\qquad y=\dfrac{-(-4) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1}=\dfrac{4 \pm 16}{2}\\
\qquad y_1=\dfrac{4+16}{2}=10~\text{ e }~y_2=\dfrac{4-16}{2}=-6.[/tex]
Observe que [tex]y_2=-6[/tex] não verifica a equação [tex]y=2 \sqrt{y+15}[/tex], pois se substituirmos [tex]y_2=-6[/tex], obtemos: [tex]-6=2 \sqrt{-6+15}[/tex], o que não é verdade. Por outro lado, substituindo [tex]y_1=10[/tex], obtemos: [tex]10=2 \sqrt{10+15}[/tex], o que é verdade. Deste modo, apenas [tex]y_1=10[/tex] nos interessa.
Como [tex]y= x^2+18x+30[/tex] e [tex]y=10[/tex] é o único valor que nos interessa, segue que:
[tex]\qquad 10= x^2+18x+30\\
\qquad x^2+18x+20=0.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
A equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] admite apenas raízes reais, pois seu discriminante é [tex]\Delta = (18)^2-4 \cdot 1 \cdot (20)=244 \gt 0[/tex]. Então,
- a soma das raízes dessa equação é dada por [tex]x_1+x_2=- \dfrac{b}{a}=- \dfrac{18}{1}=-18;[/tex]
- o produto é dado por [tex]x_1 \cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{20}{1}=20.[/tex]
Você pode obter esses resultados sem utilizar as Relações de Girard; basta encontrar diretamente as duas raízes da equação [tex]x^2+18x+20=0[/tex] e depois somá-las e multiplicá-las. Vejamos.
- O discriminante da equação [tex]x^2+18x+20=0[/tex] é [tex]~\Delta = (18)^2-4 \cdot 1 \cdot (20)=244[/tex] e, portanto, suas raízes são
[tex]\qquad y=\dfrac{-18 \pm \sqrt{244}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-18 \pm 2\sqrt{61}}{2}=-9 \pm \sqrt{61}\\
\qquad y_1=-9 + \sqrt{61}~\text{ e }~y_2=-9 -\sqrt{61}.[/tex] - Soma das raízes: [tex]\left(-9 +\sqrt{61}\right)+\left(-9 -\sqrt{61}\right)=-18.[/tex]
- Produto das raízes: [tex]\left(-9 +\sqrt{61}\right)\times\left(-9 -\sqrt{61}\right)=\left(-9\right)^2-\left(\sqrt{61}\right)^2=81-61=20.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.