Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Fixados [tex]m,\,n,\,p,\,q\,[/tex] e [tex]\,r[/tex], determine um valor de [tex]x[/tex] que satisfaça a equação
[tex]\,\\
\qquad \qquad \dfrac{x-m}{n+p+q+r}+\dfrac{x-n-p}{q+r+m}+ \dfrac{x-q-r}{m+n+p}=3\,.[/tex]
Solução
- Inicialmente, vamos usar o artifício de substituir o [tex]3[/tex] por [tex]1+1+1[/tex]:
- Agora, vamos "passar esses uns" para o lado esquerdo da igualdade, de maneira conveniente:
- Em seguida, vamos efetuar a diferença indicada em cada parêntese; observe que:
- Observe que os numeradores que aparecem nas três parcelas do lado esquerdo da última igualdade são todos iguais a [tex]\boxed{x-m-n-p-q-r}[/tex]. Assim, colocando em evidência esse numerador, temos:
[tex] \quad \left(\dfrac{x-m}{n+p+q+r}\right)+\left(\dfrac{x-n-p}{q+r+m}\right)+\left(\dfrac{x-q-r}{m+n+p}\right)=1+1+1\,.[/tex]
[tex] \quad \left(\dfrac{x-m}{n+p+q+r}-1\right)+\left(\dfrac{x-n-p}{q+r+m}-1\right)+\left(\dfrac{x-q-r}{m+n+p}-1\right)=0.[/tex]
[tex] \quad \left(\dfrac{x-m}{n+p+q+r}-\dfrac{n+p+q+r}{n+p+q+r}\right)+\left(\dfrac{x-n-p}{q+r+m}-\dfrac{q+r+m}{q+r+m}\right)+\left(\dfrac{x-q-r}{m+n+p}-\dfrac{m+n+p}{m+n+p}\right)=0[/tex]
[tex]\,\\
\quad \left(\dfrac{x-m-(n+p+q+r)}{n+p+q+r)}\right)+\left(\dfrac{x-n-p-(q+r+m)}{q+r+m}\right)+\left(\dfrac{x-q-r-(m+n+p)}{m+n+p}\right)=0[/tex]
[tex]\, \\
\quad \boxed{\left(\dfrac{x-m-n-p-q-r}{n+p+q+r}\right)+\left(\dfrac{x-n-p-q-r-m}{q+r+m}\right)+\left(\dfrac{x-q-r-m-n-p}{m+n+p}\right)=0}.[/tex]
[tex]\quad \left(x-m-n-p-q-r\right) \cdot \left(\dfrac{1}{n+p+q+r}+\dfrac{1}{q+r+m}+\dfrac{1}{m+n+p}\right)=0.[/tex]
Perceba, agora, que temos um produto igual a zero; portanto, é necessário que pelo menos um dos dois fatores desse produto seja zero.
Finalmente, fazendo [tex] \boxed{x-m-n-p-q-r=0}[/tex], obtemos que [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=m+n+p+q+r$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.