Ali Babão a caminho de suas 40 equações
Imagem do menino adaptada de Dreamstime
Ali Babão é um mestre que adora inventar e resolver problemas de matemática.
Ele está elaborando uma lista com quarenta problemas envolvendo equações para apresentar aos seus discípulos matemáticos. Até agora, ele já escolheu vinte e oito belos problemas!
Ele está elaborando uma lista com quarenta problemas envolvendo equações para apresentar aos seus discípulos matemáticos. Até agora, ele já escolheu vinte e oito belos problemas!
Será que você consegue resolvê-los?
1. Resolva a equação [tex]\boxed{(x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+1=x} \, [/tex] no conjunto dos números reais.
Solução
2. Determinar todas as soluções reais da seguinte equação:
[tex]\qquad \qquad \boxed{\dfrac{x^2}{x-1}+\sqrt{x-1}+\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{x-1}}} \, .[/tex]
Solução
3. Qual a solução da equação [tex]\boxed{4^x+6^x=2\cdot 9^x}[/tex] no conjunto dos números reais?
Solução
4. Resolva a equação [tex] \, \boxed{\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}}=1} \, .[/tex]
Solução
5. Se [tex]\,\boxed{9^m+9^m+9^m=3^{999}}\,[/tex], determine [tex]m.[/tex]
Solução
6. Determine todas as soluções reais da equação [tex]\,\boxed{8x^3-6x-1=0}\,[/tex].
Solução
7. Vamos brincar com gráficos?
A equação [tex] \boxed{\left( \dfrac{1}{2} \right) ^x=\left|x-2\right|\;}[/tex] possui solução real?
Solução
8. Sabendo que [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números naturais maiores que [tex]1[/tex], resolva a seguinte equação:
[tex]\qquad \qquad \boxed{a+b+c+a \cdot b+b \cdot c+a \cdot c+a \cdot b \cdot c=2000}\,[/tex].
Solução
9. Considere a equação [tex]\,\boxed{p^{n}+144=q^{2}}\,[/tex], na qual [tex]n[/tex] e [tex]q[/tex] são números naturais e [tex]p[/tex] é um número primo.
[tex]\qquad[/tex] Encontre os possíveis valores de [tex]n[/tex], [tex] \, q \, [/tex] e [tex] \, p.[/tex]
Solução
10. Resolva a equação [tex]\quad \boxed{3=\dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{x}}}}} \, [/tex].
Solução
11. Determine todas as soluções reais da equação [tex]\boxed{(x^2+x+4)^2+8x^3+8x^2+32x+15x^2=0} \, .[/tex]
Solução
12. Determine todos os pares ordenados de inteiros [tex](x,y)[/tex] tais que [tex]\,\boxed{9xy-x^{2}-8y^2=2005}\,[/tex].
Solução
13. Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números inteiros. Determinar numericamente as raízes da equação [tex]\,\boxed{\left(ax-b\right)^2+\left(bx-a\right)^2=x}\,[/tex], sabendo que essa equação admite uma raiz inteira.
Solução
14. Ali Babão apresentou aos seus discípulos um tipo interessante de equações polinomiais:
- equações cujos coeficientes equidistantes dos extremos ou são todos iguais ou são todos simétricos.
Esquematicamente, são equações da forma
tais que ou
[tex]\qquad \qquad a_n=a_0\,,\, a_{n-1}=a_1\,,\, a_{n-2}=a_2,\cdots\, [/tex]
ou
[tex]\qquad \qquad a_n=-a_0\,,\,a_{n-1}=-a_1\,,\, a_{n-2}=-a_2,\cdots\,. [/tex]
tais que ou
[tex]\qquad \qquad a_n=a_0\,,\, a_{n-1}=a_1\,,\, a_{n-2}=a_2,\cdots\, [/tex]
ou
[tex]\qquad \qquad a_n=-a_0\,,\,a_{n-1}=-a_1\,,\, a_{n-2}=-a_2,\cdots\,. [/tex]
Ajude aos discípulos do mestre Ali, respondendo os itens abaixo.
(a) Se os coeficientes equidistantes dos extremos de uma equação são simétricos, então essa equação admite a raiz [tex]1[/tex]?
(b) Se os coeficientes equidistantes dos extremos de uma equação forem iguais, essa equação admite a raiz [tex]-1[/tex]?
(c) Resolva a equação [tex]\,\boxed{6x^3-19x^2+19x-6=0}\,[/tex].
Solução
15. Se [tex]x,\, y[/tex] e [tex]z[/tex] são números reais tais que [tex]x \geqslant 1[/tex], [tex]y \geqslant \frac{1}{2}[/tex] e [tex]z \geqslant \frac{3}{2}\\[/tex], encontre TODAS as soluções da equação
[tex]\qquad \qquad \boxed{\left(xyz\right)^2=12\left(x-1 \right)\left(2y-1 \right)\left(2z-3 \right)}\,.[/tex]
Solução
16. Determine todos os valores reais [tex]x, y\, [/tex] e [tex]\, z[/tex] que satisfazem à igualdade [tex]\boxed{3x^2+y^2+z^2=2xy+2xz}[/tex].
Solução
17. Resolva a equação [tex]\boxed{\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3}\,.[/tex]
Solução
18. Encontre todos os reais [tex]x[/tex] para os quais [tex]\,\boxed{\dfrac{8^x+27^x}{12^x+18^x}=\dfrac{7}{6}}\,.[/tex]
Solução
19. Quais as raízes reais da equação [tex] \boxed{\left|\,2x+\sqrt{5}\, \right|=x+4\,\sqrt{5}\,}[/tex]?
Solução
20. Determine os números inteiros [tex]m\,[/tex] e [tex]\,n[/tex] que satisfazem a seguinte equação: [tex]\boxed{\, 2^n+3^m=3^{m+2}-2^{n+1}\, }[/tex].
Solução
21. Se [tex]p[/tex] é um número primo, determinar todas as possíveis soluções inteiras [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] da equação [tex]\; \boxed{ p \cdot (m+n)=m \cdot n}\,[/tex].
Solução
22. Quantas soluções com quatro inteiros ímpares tem a equação
[tex]\qquad \qquad \boxed{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1}\;[/tex]?
Solução
23. Fixados [tex]m,\,n,\,p,\,q\,[/tex] e [tex]\,r[/tex], determine um valor de [tex]x[/tex] que satisfaça a equação
[tex]\,\\
\qquad \qquad \boxed{\dfrac{x-m}{n+p+q+r}+\dfrac{x-n-p}{q+r+m}+ \dfrac{x-q-r}{m+n+p}=3}\,.[/tex]
Solução
24. Quantos pares ordenados [tex] (x,y)[/tex], com [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] números reais, satisfazem a equação [tex]\,\boxed{\,x^2+y^2=|x|+|y|\,}\,[/tex]?
E se [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] forem inteiros?
Solução
25. Para que valores reais [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] a igualdade [tex]\boxed{5x^{2}+5y^{2}+8xy+2y-2x+2=0}\,[/tex] é verdadeira?
Solução
26. Resolva no conjunto [tex]\mathbb{R}[/tex] dos números reais a equação [tex]\,\boxed{x^{2}+4x\,cos(xy)+4=0}\,.[/tex]
Solução
27. Encontre as soluções reais da equação [tex]\,\boxed{\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}=\sqrt{x+3}}\,.[/tex]
Solução
28. Quantos pares ordenados [tex](x,y)[/tex] de números reais existem tais que
[tex]\qquad \qquad \boxed{(2x+3y-1)^4+x^2+y^2=2xy}\,[/tex]?
Solução
29. Sabendo que [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números reais positivos tais que [tex]a \lt b+c[/tex], [tex]b \lt a+c[/tex] e [tex]c \lt a+b[/tex], resolva o sistema abaixo no conjunto dos números reais positivos.
\sqrt{xy}+\sqrt{xz}-x=a\\
\sqrt{yz}+\sqrt{yx}-y=b\\
\sqrt{zx}+\sqrt{zy}-z=c \\
\end{cases}~~[/tex].
Solução
30. Determine a soma e o produto das raízes reais da equação:
Solução
31. Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] reais positivos tais que [tex]x ^ 3 + y ^ 3 + (x + y) ^ 3 + 30xy = 2000[/tex].
Resolva a equação
[tex]\qquad \qquad \boxed{ 4x^{4}-ax^{3}+bx^{2}-cx+5=0},[/tex]
sabendo que todas as raízes [tex]x_{1}, x_{2}, x_{3} [/tex] e [tex] x_{4}[/tex] são reais e positivas e que:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{x_{1}}{2}+\dfrac{x_{2}}{4}+\dfrac{x_{3}}{5}+\dfrac{x_{4}}{8}=1.[/tex]
Solução
32. Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] reais positivos tais que [tex]\boxed{x ^ 3 + y ^ 3 + (x + y) ^ 3 + 30xy = 2000}.[/tex]
Mostre que [tex] x + y = 10 [/tex].
Solução
33. Encontre as raízes da equação [tex]\boxed{(x^{2}-3x-2)^2-3(x^{2}-3x-2)-2-x=0}.[/tex]
Solução
34. Encontre uma raiz da equação [tex]x^{x^{20}}=\sqrt[\sqrt{2}]{2}.[/tex]
Solução
36. Resolva a equação [tex]\boxed{1+\sqrt{3^{x}}=2^{x}}.[/tex]
Solução
37. Ali Babão organizou uma gincana na qual deveriam ser resolvidas algumas equações de sua escolha. Robério, um de seus discípulos, recebeu uma ficha com o seguinte problema:
Calcular a soma [tex]S[/tex] das soluções reais da equação [tex]2^x-2^{-x}=5(1-2^{-x}).[/tex]
Robério resolveu corretamente o problema em [tex]2^S[/tex] minutos, sendo que o tempo limite para receber o prêmio da gincana era de [tex]5[/tex] minutos. Robério recebeu o prêmio?
Solução
38.Ali Babão desafiou seu irmão caçula, Ali Babinho, a resolver, no conjunto dos números reais, a equação
Qual é o valor de [tex]B[/tex] ?
Solução
39. Quantos números inteiros satisfazem a equação [tex]\boxed{2^x \cdot (4-x)=2x+4}\,[/tex]?
Solução
Equipe COM – OBMEP
E a saga continua…