set 02

Castanha de caju

PROBLEMA

O preço da castanha de caju costuma variar em função da época do ano. Em períodos de colheita farta, o preço é menor, devido ao aumento na oferta. Já em períodos de entressafra, o preço atinge valores maiores. A variação de preço de produtos sazonais – a castanha de caju é um exemplo – é geralmente modelada por funções trigonométricas.

Considere que a função a seguir representa o preço, em real, de um quilo de castanha de caju em função do tempo, expresso em mês, com [tex]t = 0[/tex] correspondendo ao mês de janeiro,

[tex]P(t)=38 – 2 \cdot cos \left[ \dfrac{\pi (t-1)}{6} \right]⁡.[/tex]

Em quais meses ocorrem a entressafra da castanha de caju?

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 5, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2024: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

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6 comentários

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  1. É dito que, no período de entressafra, o preço atinge valores maiores… mas maiores que o quê? Não foi fornecido um preço de referência para calcularmos os meses de entressafra.

    Desse modo, vamos considerar que é procurado somente o mês no qual [tex]P(t)[/tex] é máximo (como sugere a Dica).

    O maior valor dessa função ocorre quando o termo [tex]-2\cdot cos\left(\dfrac{\pi(t-1)}{6}\right)[/tex] atinge valor máximo. Como o maior valor para um cosseno é [tex]+1[/tex], então o valor máximo do termo anterior é atingido quando [tex]-cos\left(\dfrac{\pi(t-1)}{6}\right)=1\therefore cos\left(\dfrac{\pi(t-1)}{6}\right)=-1[/tex]

    Se [tex]cos(\alpha)=-1[/tex], então [tex]\alpha\in\{\cdots-3\pi,-\pi,\pi,3\pi,\cdots\}[/tex].

    Porém, como [tex]0\leq t\leq11[/tex], ficamos limitados ao caso [tex]\pi[/tex]:

    [tex]\dfrac{\pi(t-1)}{6}=\pi\therefore t=7[/tex]

    Desse modo, o mês de entressafra é [b]Agosto[/b].

    1. olução correta, Koreil Guys.

      A ideia do enunciado é maximizar o valor de [tex]P(t)[/tex]. E não, necessariamente, precisamos ter um valor de referência.

  2. Primeiramente, vamos tomar algumas observações:

    [b][i]I[/i][/b] – O valor de [tex]cos(\alpha)[/tex] sempre irá pertencer ao intervalo [tex][-1,1][/tex], para todo e qualquer [tex]\alpha[/tex].
    [b][i]II[/i][/b] – Como [tex]t[/tex] representa um mês do ano, partinco de [tex]0[/tex], podemos dizer que o domínio de [tex]P(t)[/tex] é igual aos naturais do intervalo [tex][0,11][/tex] ([tex]12[/tex] elementos, um para cada mês do ano, já que Janeiro é representado pelo número zero)

    Como dito no enunciado, a entressafra é o período de tempo em que a soja atinge os maiores valores, ou seja, o período de tempo [tex]t[/tex] para os quais [tex]P(t)[/tex] tenha os maiores valores. Como a função [tex]P(t)[/tex] possui um termo independente [tex]38[/tex], e um termo que varia em função de um cosseno e de [tex]t[/tex], os valores máximos e mínimos de [tex]P(t)[/tex] são alcançados quando, de acordo com [i][b]I[/b][/i], o termo [tex]cos[\frac{\pi(t-1)}{6}][/tex] valer [tex]-1[/tex] e [tex]1[/tex]. Já que este termo está com sinal negativo na expressão, ele se tornará positivo quando seu valor for [tex]-1[/tex], que também será quando [tex]P(t)[/tex] terá valor máximo. Agora que sabemos o que estamos procurando, já podemos começar a trabalhar:

    Pelas definições trigonométricas, sabemos que, [tex]cos(\alpha) = -1[/tex] quando [tex]\alpha = 180º = \pi rad[/tex] (de maneira geral, [tex]\pi + 2 k \pi[/tex], com [tex]k \in N[/tex], para os casos de ângulos congruentes para ângulos com mais de uma volta). Ou seja, queremos encontrar valores de [tex]t[/tex] em [tex][0,11][/tex] para os quais [tex]\frac{\pi(t-1)}{6} = \pi + 2k \pi \Rightarrow \frac{t-1}{6} = 1 + 2k[/tex]. Primeiro, para [tex]k = 0[/tex], temos:

    [tex]\frac{t-1}{6} = 1 \Rightarrow t – 1 = 6 \therefore t = 7[/tex]

    Com isso, já sabemos que, o mês de [i]Agosto[/i] é um mês em que ocorre a entressafra (já que 7, neste caso, estaria representando o mês 8).

    Para [tex]k = 1[/tex], temos:

    [tex]\frac{t-1}{6} = 1 + 2 \Rightarrow \frac{t-1}{6} = 3 \Rightarrow t-1 = 18 \therefore t = 19[/tex]

    Como dito anteriormente, estando de acordo com [b][i]II[/i][/b], não faz sentido trabalharmos com valores de [tex]t[/tex] maiores que [tex]11[/tex]. Portanto, [tex]t = 19[/tex] é inválido, assim como será inválido para qualquer [tex]k \geq 1[/tex].

    Com isso, concluímos que, [b][i]Agosto[/i][/b] é o único mês do ano em que ocorre a entressafra, com o preço da castanha de caju valendo [tex]P(7) = 38 – 2 \cdot (-1) = 38 + 2 = 40[/tex] reais. Esperamos que nossa explicação tenha sido o mais clara possível, já que nosso objetivo foi não somente apresentar uma solução para este problema, mas uma “ideia de raciocínio” extremamente útil para resolver diversas questões que envolvem intervalos e valores máximos e mínimos em funções trigonométricas :D

    1. Parabéns, Potências de Euler.

      Solução correta!

  3. Para encontrar os meses em que o preço é máximo, precisamos resolver a equação:

    cos[π(t-1)/6] = -1

    O cosseno assume o valor -1 em π, 3π, 5π, …
    π(t-1)/6 = π
    t = 7

    π(t-1)/6 = 3π
    t = 19

    E assim por diante.

    Considerando apenas os valores de t a partir de 0 = janeiro, podemos concluir que o mês de entressafra é agosto (t = 7)

    A função trigonométrica fornece uma ferramenta poderosa para entender e prever a variação de preços de produtos sazonais como a castanha de caju. Ao compreender os ciclos de produção e os fatores que influenciam o mercado, é possível tomar decisões mais informadas e estratégicas. A matemática é linda! \o/

    1. Solução correta, LAPLACES.

      Parabéns!

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