Rombicosidodecaedro

Questão top demais! Acho superdivertido que, apesar da relação de Euler para poliedros convexos ser simples, ela consegue despertar a criatividade nesse tipo de questão.

Relação de Euler para poliedros convexos:

[tex]F+V=A+2[/tex]

Na questão, já temos o valor de [tex]F=62[/tex].

Como diz a questão, cada vértice está ligado a exatamente um triângulo, de modo que cada face triangular contém 3 vértices únicos do poliedro (ou seja, triângulos distintos não compartilham vértices).

Assim, sendo [tex]F_t[/tex] a quantidade de faces triangulares do poliedro, podemos expressar o número total de vértices da figura espacial como:

[tex]V=3F_t[/tex]

Analogamente às faces pentagonais:

[tex]V=5F_p[/tex]

Para as faces quadradas é um pouco diferente, pois cada vértice está associado a duas delas. Desse modo, ao contarmos todas as faces quadradas, estaremos repetindo cada vértice do poliedro exatamente uma vez:

[tex]V=\dfrac{4F_q}{2}=2F_q[/tex]

Essas notações serão importantes para a resposta final. Agora, se atente no seguinte:

Cada vértice faz parte de 4 faces, desse modo, de cada vértice partem 4 arestas.

Porém, cada aresta é sempre ligada por dois vértices (fato que não é exclusivo da questão). Assim, se somarmos as arestas que partem de cada vértice, estaremos repetindo cada aresta exatamente uma vez. Desse modo:

[tex]A=\dfrac{4V}{2}=2V[/tex]

Aplicando no Teorema de Euler:

[tex]62+V=2V+2[/tex]

[tex]V=60[/tex]

Assim, podemos calcular a quantidade de faces triangulares, quadradas e pentagonais:

[tex]3F_t=60\therefore F_t=20[/tex]
[tex]5F_p=60\therefore F_p=12[/tex]
[tex]2F_q=60\therefore F_q=30[/tex]