Rombicosidodecaedro

Questão top demais! Acho superdivertido que, apesar da relação de Euler para poliedros convexos ser simples, ela consegue despertar a criatividade nesse tipo de questão.

Relação de Euler para poliedros convexos:

[tex]F+V=A+2[/tex]

Na questão, já temos o valor de [tex]F=62[/tex].

Como diz a questão, cada vértice está ligado a exatamente um triângulo, de modo que cada face triangular contém 3 vértices únicos do poliedro (ou seja, triângulos distintos não compartilham vértices).

Assim, sendo [tex]F_t[/tex] a quantidade de faces triangulares do poliedro, podemos expressar o número total de vértices da figura espacial como:

[tex]V=3F_t[/tex]

Analogamente às faces pentagonais:

[tex]V=5F_p[/tex]

Para as faces quadradas é um pouco diferente, pois cada vértice está associado a duas delas. Desse modo, ao contarmos todas as faces quadradas, estaremos repetindo cada vértice do poliedro exatamente uma vez:

[tex]V=\dfrac{4F_q}{2}=2F_q[/tex]

Essas notações serão importantes para a resposta final. Agora, se atente no seguinte:

Cada vértice faz parte de 4 faces, desse modo, de cada vértice partem 4 arestas.

Porém, cada aresta é sempre ligada por dois vértices (fato que não é exclusivo da questão). Assim, se somarmos as arestas que partem de cada vértice, estaremos repetindo cada aresta exatamente uma vez. Desse modo:

[tex]A=\dfrac{4V}{2}=2V[/tex]

Aplicando no Teorema de Euler:

[tex]62+V=2V+2[/tex]

[tex]V=60[/tex]

Assim, podemos calcular a quantidade de faces triangulares, quadradas e pentagonais:

[tex]3F_t=60\therefore F_t=20[/tex]
[tex]5F_p=60\therefore F_p=12[/tex]
[tex]2F_q=60\therefore F_q=30[/tex]

Seja ( v, e, f, p, q, t ) representarem o número total de vértices, arestas, faces, pentágonos, quadriláteros e triângulos no poliedro, respectivamente.

Sabemos que ( v – e + f = 2 ) devido à característica de Euler da superfície.

Também sabemos que ( f = p + q + t ).

Além disso, ( e = (5p + 4q + 3t) / 2 ), pois cada pentágono contribui com cinco arestas, cada quadrilátero contribui com quatro arestas, etc. A divisão por dois vem do fato de que cada aresta é adjacente a duas faces simultaneamente.

Em seguida, ( v = (5p + 4q + 3t) / 4 ), pois, novamente, cada pentágono contribui com cinco vértices, etc., mas cada vértice é adjacente a um total de quatro faces.

Então, juntando essas informações, temos: [ 2 = =v−e+f=[(5p+4q+3t)/4]−[(5p+4q+3t)/2]+p+q+t
Combinando as expressões, temos: [ 8 = 5p + 4q + 3t – 10p – 8q – 6t + 4p + 4q + 4t = t – p ]

Portanto, sabemos que deve haver oito triângulos a mais do que pentágonos.

Para chegar a uma conclusão final sobre o número específico de cada tipo de face, olhamos para como cada forma interage:
Vemos que, do ponto de vista dos pentágonos, há cinco triângulos vizinhos. Então, ( 5p ) contaria em excesso o número de triângulos. Cada triângulo, no entanto, é contado por três pentágonos. Assim, temos a relação ( 5p = 3t ).

Da mesma forma, temos ( 5p = 2q ).

Combinando isso com a informação que tínhamos antes, que ( t = p + 8 ), temos ( 5p = 3(p + 8) ) e, portanto, ( 2p = 24 ) e ( p = 12 ).

Então, ( t = 20 ) e ( q = 30 ).

Devem haver então 20 triângulos, 30 quadriláteros e 12 pentágonos, totalizando ( p + q + t = 62 ) faces.

Também poderíamos voltar e encontrar o número total de vértices e arestas agora que encontramos o número de cada tipo de face.