PROBLEMA
Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] inteiros satisfazendo [tex]x + y \ne 0[/tex]. Encontre todos os pares [tex](x, y)[/tex] tais que:
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 3, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2024: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 3, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2024: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Bons estudos, pessoal!
6 comentários
Pular para o formulário de comentário
Ao desenvolver a expressão:
(x² + y²) / (x + y) = 10
Temos que:
x² + y² = 10 (x + y)
x² + y² = 10x + 10y
x² – 10x + y² – 10y = 0
Em seguida, podemos usar o método de completar o quadrado nos termos da equação, ficando da seguinte maneira:
x² – 10x + 5² + y² – 10y + 5² = 5² + 5²
x² – 10x + 25 + y – 10y + 25 = 50
Nesse momento, encontra-se, com base na regra do quadrado da soma, a seguinte expressão:
(x-5)² + (y-5)² = 50
Observe que essa expressão é uma equação de circunferência, com centro em (5,5) e raio de ( raiz de 50 = 5 raíz de 2)
Assim, levando em conta as duas condições, podemos encontrar os pares de inteiros:
(Condição 1) -> (x-5)² + (y-5)² = 50
(Condição2) -> x+y diferente de 0
Temos que, a² + b² = 50, então montando uma amostra de possibilidades, com base nos quadrados perfeitos, obtemos:
1²= 1 | 2² = 4 | 3² = 9 | 4² = 16 | 5²=25 | 6² = 36 | 7²=49 ( A partir do 8² = 64, a soma fica inviável de acontecer já que a equação apresenta termos ao quadrado. Sendo assim, a resposta sempre será positiva, não havendo espaço para subtração que resulte em 50)
Analisando estes conjuntos, vemos que só há congruência ao usar os seguintes números:
7² + 1¹ = 50 (ou o contrário)
5² + 5² = 50
Sabendo disso e considerando as duas condições, obtêm-se:
(x,y) = (12, 6), pois:
(12 – 5)² = 7² = 49 -> (x = 12)
(6-5)² = 1² = 1 -> (y=6)
Não podemos nos esquecer das possibilidades negativas, então:
(x,y) = (-2, 4), pois:
(-2-5)² = (-7)² = 49 (x=-2)
(4 – 5)² = (-1)² = 1 (y=4)
E ainda:
(x,y) = (10, 10) ou (10, 0), pois:
(10 – 5)² = 5² = 25 (x=10)
(10 – 5)² = 5² = 25 (y=10)
ou
(10 – 5)² = 5² = 25 (x=10)
(0 – 5)² = (-5)² = 25 (y=0)
Logo, diante de todas essas análises e ainda considerando o contrário dos valores assumidos por x e y, concluímos que o conjunto de pares possíveis e que são válidos nesse problema são:
C = {(12,6), (6,12), (-2,4), (4, -2), (10,10), (10,0) e (0,10)};
Autor
Ainda há mais soluções, Sociedade de Hilbert.
Por exemplo, o par (6, -2) é uma solução que falta na sua resposta.
Que tal fazer uma análise diferente da equação: (x-5)² + (y-5)² = 50.
Quais são os dois quadrados (de inteiros) que adicionados chegam no resultado 50?
Talvez isso faça você encontrar os pares que estão faltando.
Muito obrigado pela correção OBEMP_bsr!!
Reformulando o final da nossa resolução, em que faltou mais uma análise do quadrado de 7 e de 1, temos que
x pode assumir o valor de 4 e y de 12 ou vice-versa:
(4-5)² + (12 – 5)² = 50
(-1)² + 7² = 50
7² + (-1)² = 50
Assim como:
x = -2 e y = 6 (ou vice-versa)
(-2 – 5)² + (6-5)² = 50
(-7)² + 1² = 50
Logo, diante de todas essas análises , concluímos com vigor que o conjunto de pares possíveis e que são válidos nesse problema são:
C = {(4,12), (12,4), (-2,6), (6,-2), (12,6), (6,12), (-2,4), (4, -2), (10,10), (10,0) e (0,10)};
Autor
Muito bom.
Estão corretos!!
Veja que [tex]\dfrac{x^2 + y^2}{x + y} = 10[/tex] é equivalente a [tex]x^2 + y^2 = 10x + 10y \leftrightarrow[/tex] [tex]x^2 – 10x + y^2 – 10y = 0 \leftrightarrow[/tex] [tex]x^2 – 10x + 25 + y^2 -10y + 25 = 50 \leftrightarrow[/tex] [tex](x-5)^2 + (y-5)^2 = 50[/tex].
Assim, precisamos encontrar os quadrados perfeitos que somam 50, e depois analisar se isso satisfaz as condições iniciais ([tex]\dfrac{x^2 + y^2}{x + y}[/tex] positivo, ou seja, [tex]x+y[/tex] positivo).
As únicas possibilidades de quadrados perfeitos com essa soma são [tex]1^2 + 7^2[/tex] e [tex]5^2 + 5^2[/tex].
Se temos 1 e 7 ao quadrado, é possível:
1 – [tex]x-5 = 1[/tex] e [tex]y-5 = 7[/tex]
2 – [tex]x-5 = -1[/tex] e [tex]y-5 = 7[/tex]
3 – [tex]x-5 = 1[/tex] e [tex]y-5 = -7[/tex]
4 – [tex]x-5 = -1[/tex] e [tex]y-5 = -7[/tex]
– Mais as outras possibilidades que se tratam apenas de trocar x e y de lugar.
1 – [tex]x = 6[/tex] e [tex]y = 12[/tex], [tex]x + y = 18 > 0[/tex], possível.
2 – [tex]x = 4[/tex] e [tex]y = 12[/tex], [tex]x + y = 16 > 0[/tex], possível.
3 – [tex]x = 6[/tex] e [tex]y = -2[/tex], [tex]x + y = 4 > 0[/tex], possível.
4 – [tex]x = 4[/tex] e [tex]y = -2[/tex], [tex]x + y = 2 > 0[/tex], possível.
Se temos 5 e 5 ao quadrado, é possível:
1 – [tex]x-5 = 5[/tex] e [tex]y-5 = 5[/tex]
2 – [tex]x-5 = 5[/tex] e [tex]y-5 = -5[/tex]
3 – [tex]x-5 = -5[/tex] e [tex]y-5 = -5[/tex]
– Mais as outras possibilidades que se tratam apenas de trocar x e y de lugar.
1 – [tex]x = 10[/tex] e [tex]y = 10[/tex], [tex]x + y = 20 > 0[/tex], possível.
2 – [tex]x = 10[/tex] e [tex]y = 0[/tex], [tex]x + y = 10 > 0[/tex], possível.
3 – [tex]x = 0[/tex] e [tex]y = -0[/tex], [tex]x + y = 0[/tex], impossível.
Logo, a resposta é [tex]S = {(6, 12), (12, 6), (4, 12), (12, 4), (6, -2), (-2, 6), (4, -2), (-2, 4), (10, 10), (10, 0), (0, 10)}[/tex].
Autor
Parabéns, Apótema Mineira.
Solução correta!