Problema: Área no quadrado

PROBLEMA

Abaixo temos um quadrado [tex]ABCD[/tex] de lado [tex]4[/tex] cm e centro [tex]X[/tex]. Sabe-se que [tex]AE = BF = 1[/tex] cm.


Qual a área do quadrilátero [tex]XEBF[/tex]?

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 3, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2024: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2024/09/problema-area-no-quadrado/

6 comentários

Pular para o formulário de comentário

  1. Por simetria é possível perceber que o quadrado ABCD pode ser dividido em 4 quadriláteros congruentes a XEBF sempre que AE=BF. Desse modo, a área de XEBF seria [tex]\dfrac{1}{4}(ABCD)=\dfrac{16}{4}=4[/tex]

    Outro maneira de pensar é calcular a soma das áreas dos triângulos XEB e XFB:

    [tex](XEBF)=(XEB)+(XFB)[/tex]

    [tex](XEB)=\dfrac{3\cdot2}{2}=3[/tex]

    [tex](XFB)=\dfrac{1\cdot2}{2}=1[/tex]

    [tex](XEBF)=3+1=4[/tex]

    1. As duas soluções estão corretas, Koreil Guys.

      Parabéns!!!

  2. Outra maneira de resolver a questão é:
    Ao observar o quadrado, podemos perceber que a área do quadrilátero XBEF é uma parte menor que a metade da área do quadrado. Além disso, recortando apenas essa visão da metade, nota-se que além do quadrilátero XBEF, há o trapézio AEXG (G ponto médio de AD) e o triângulo retângulo FXH (H ponto médio de BC), nesse caso podemos calcular a área de XBEF ao descontar as aréas do trapézio e triangulo, em relação à metade da área do quadrado ABDC, então:
    At = 4.4 = 16 cm²/2 = 8 cm²
    Atrápezio = ((2+1) . 2) / 2 = 3 cm²
    Atriangulo = (2 . 1) / 2 = 1 cm²

    Assim:
    Axbef = At – (Atrapezio + Atriangulo)=
    Axbef = 8 – 4 = 4 cm²

    Logo, a área do quadriláteo XBEF é 4 cm². Esta resolução é um pouco mais longa, entretanto trabalha com conceitos como área de trapezio e triangulo rentagular.

    1. Muito bem, Sociedade de Hilbert.

      Outra solução correta.

  3. Para resolver esse problema, utilizei um retângulo imaginário formado pela parte de cima do quadrado, traçando uma reta paralela a AB e criando os pontos P, Q, R na mesma coordenada X de A, E e B respectivamente.
    Área abrp = 2 . 4 = 8 cm³
    Agora subtraí as áreas das figuras brancas restantes:
    Área xfr = \frac{2.1}{2} = 1
    Área exq = \frac{2.1}{2} = 1
    Área aeqp = 2 . 1 = 2
    Área abfx = 8 – 1 – 1 – 2 = 4 cm³

    1. Boa solução, Lógicos.

      Estão corretos.

Deixe uma resposta