Problema: Pares de inteiros

PROBLEMA

Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] inteiros satisfazendo [tex]x + y \ne 0[/tex]. Encontre todos os pares [tex](x, y)[/tex] tais que:

[tex]\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=10[/tex].

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 3, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2024: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

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4 comentários

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  1. Ao desenvolver a expressão:
    (x² + y²) / (x + y) = 10

    Temos que:
    x² + y² = 10 (x + y)
    x² + y² = 10x + 10y
    x² – 10x + y² – 10y = 0

    Em seguida, podemos usar o método de completar o quadrado nos termos da equação, ficando da seguinte maneira:
    x² – 10x + 5² + y² – 10y + 5² = 5² + 5²
    x² – 10x + 25 + y – 10y + 25 = 50

    Nesse momento, encontra-se, com base na regra do quadrado da soma, a seguinte expressão:
    (x-5)² + (y-5)² = 50

    Observe que essa expressão é uma equação de circunferência, com centro em (5,5) e raio de ( raiz de 50 = 5 raíz de 2)
    Assim, levando em conta as duas condições, podemos encontrar os pares de inteiros:
    (Condição 1) -> (x-5)² + (y-5)² = 50
    (Condição2) -> x+y diferente de 0

    Temos que, a² + b² = 50, então montando uma amostra de possibilidades, com base nos quadrados perfeitos, obtemos:
    1²= 1 | 2² = 4 | 3² = 9 | 4² = 16 | 5²=25 | 6² = 36 | 7²=49 ( A partir do 8² = 64, a soma fica inviável de acontecer já que a equação apresenta termos ao quadrado. Sendo assim, a resposta sempre será positiva, não havendo espaço para subtração que resulte em 50)

    Analisando estes conjuntos, vemos que só há congruência ao usar os seguintes números:
    7² + 1¹ = 50 (ou o contrário)
    5² + 5² = 50

    Sabendo disso e considerando as duas condições, obtêm-se:
    (x,y) = (12, 6), pois:
    (12 – 5)² = 7² = 49 -> (x = 12)
    (6-5)² = 1² = 1 -> (y=6)

    Não podemos nos esquecer das possibilidades negativas, então:
    (x,y) = (-2, 4), pois:
    (-2-5)² = (-7)² = 49 (x=-2)
    (4 – 5)² = (-1)² = 1 (y=4)

    E ainda:
    (x,y) = (10, 10) ou (10, 0), pois:
    (10 – 5)² = 5² = 25 (x=10)
    (10 – 5)² = 5² = 25 (y=10)
    ou
    (10 – 5)² = 5² = 25 (x=10)
    (0 – 5)² = (-5)² = 25 (y=0)

    Logo, diante de todas essas análises e ainda considerando o contrário dos valores assumidos por x e y, concluímos que o conjunto de pares possíveis e que são válidos nesse problema são:

    C = {(12,6), (6,12), (-2,4), (4, -2), (10,10), (10,0) e (0,10)};

    1. Ainda há mais soluções, Sociedade de Hilbert.

      Por exemplo, o par (6, -2) é uma solução que falta na sua resposta.

      Que tal fazer uma análise diferente da equação: (x-5)² + (y-5)² = 50.

      Quais são os dois quadrados (de inteiros) que adicionados chegam no resultado 50?

      Talvez isso faça você encontrar os pares que estão faltando.

  2. Veja que [tex]\dfrac{x^2 + y^2}{x + y} = 10[/tex] é equivalente a [tex]x^2 + y^2 = 10x + 10y \leftrightarrow[/tex] [tex]x^2 – 10x + y^2 – 10y = 0 \leftrightarrow[/tex] [tex]x^2 – 10x + 25 + y^2 -10y + 25 = 50 \leftrightarrow[/tex] [tex](x-5)^2 + (y-5)^2 = 50[/tex].

    Assim, precisamos encontrar os quadrados perfeitos que somam 50, e depois analisar se isso satisfaz as condições iniciais ([tex]\dfrac{x^2 + y^2}{x + y}[/tex] positivo, ou seja, [tex]x+y[/tex] positivo).

    As únicas possibilidades de quadrados perfeitos com essa soma são [tex]1^2 + 7^2[/tex] e [tex]5^2 + 5^2[/tex].

    Se temos 1 e 7 ao quadrado, é possível:
    1 – [tex]x-5 = 1[/tex] e [tex]y-5 = 7[/tex]
    2 – [tex]x-5 = -1[/tex] e [tex]y-5 = 7[/tex]
    3 – [tex]x-5 = 1[/tex] e [tex]y-5 = -7[/tex]
    4 – [tex]x-5 = -1[/tex] e [tex]y-5 = -7[/tex]
    – Mais as outras possibilidades que se tratam apenas de trocar x e y de lugar.
    1 – [tex]x = 6[/tex] e [tex]y = 12[/tex], [tex]x + y = 18 > 0[/tex], possível.
    2 – [tex]x = 4[/tex] e [tex]y = 12[/tex], [tex]x + y = 16 > 0[/tex], possível.
    3 – [tex]x = 6[/tex] e [tex]y = -2[/tex], [tex]x + y = 4 > 0[/tex], possível.
    4 – [tex]x = 4[/tex] e [tex]y = -2[/tex], [tex]x + y = 2 > 0[/tex], possível.
    Se temos 5 e 5 ao quadrado, é possível:
    1 – [tex]x-5 = 5[/tex] e [tex]y-5 = 5[/tex]
    2 – [tex]x-5 = 5[/tex] e [tex]y-5 = -5[/tex]
    3 – [tex]x-5 = -5[/tex] e [tex]y-5 = -5[/tex]
    – Mais as outras possibilidades que se tratam apenas de trocar x e y de lugar.
    1 – [tex]x = 10[/tex] e [tex]y = 10[/tex], [tex]x + y = 20 > 0[/tex], possível.
    2 – [tex]x = 10[/tex] e [tex]y = 0[/tex], [tex]x + y = 10 > 0[/tex], possível.
    3 – [tex]x = 0[/tex] e [tex]y = -0[/tex], [tex]x + y = 0[/tex], impossível.

    Logo, a resposta é [tex]S = {(6, 12), (12, 6), (4, 12), (12, 4), (6, -2), (-2, 6), (4, -2), (-2, 4), (10, 10), (10, 0), (0, 10)}[/tex].

    1. Parabéns, Apótema Mineira.

      Solução correta!

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