Resto da divisão

Para resolver essa questão irei usar aritmética modular e um produto notável.
Analisando que :
[tex]a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)[/tex] e substituindo [tex]a=6^2=36[/tex] e [tex]b=1[/tex]
Temos:
[tex](I)\ 36^2-1=37\cdot35[/tex]
Por aritmética modular temos:
[tex](II)\ m \mid p-q[/tex]
Então:
[tex](III)\ p\equiv q \pmod{m}[/tex]
Substituindo [tex]p=36^2=6^4[/tex], [tex]q=1[/tex] e [tex]m=37[/tex], por [tex](I)[/tex] e [tex](II)[/tex], [tex](III)[/tex] é valida ficando [tex]6^4\equiv 1 \pmod{37}[/tex]
Usando a propriedade:
[tex](IV)\ p^k \equiv q^k \pmod{m}, \ \ k \in \mathbb{Z_+^*}[/tex]
Como:
[tex]6^{2024}=(6^4)^{506}[/tex] em [tex](IV)[/tex] ficamos com [tex](6^4)^{506} \equiv 1^{506} \pmod{37}[/tex], logo temos resto 1.

Perceba que, podemos reescrever [tex]6^{2024}[/tex] como [tex](6^2)^{1012}[/tex], e também podemos reescrever [tex]37 = 36 + 1 = 6^2 + 1[/tex]. Análisando primeiramente por números pequenos, podemos notar que: [tex]\frac{6^2}{6^2}[/tex] é uma divisão perfeita (não deixa resto), portanto, o numerador é um múltiplo do denominador. Agora, ao efetuarmos [tex]\frac{6^2}{6^2 + 1}[/tex], notamos que, por [tex]1[/tex] unidade a mais, o numerador já não é mais múltiplo do denominador, ou seja, visando uma divisão perfeita (com resto), [tex]\frac{6^2}{6^2 + 1}[/tex] resulta no mesmo quociente que [tex]\frac{6^2}{6^2}[/tex] e deixa resto igual a [tex]1[/tex]. Subindo os valores: [tex]\frac{(6^2)^2}{6^2}[/tex] é uma divisão perfeita, pois o numerador é múltiplo do denominador, já quando efetuamos [tex]\frac{(6^2)^2}{6^2 + 1}[/tex] não é uma divisão inteira, novamente, pois o numerador deixou de ser múltiplo do denominador por [tex]1[/tex] unidade a mais, portanto, está divisão resultará no mesmo quociente que [tex]\frac{(6^2)^2}{6^2}[/tex] e deixará resto igual a [tex]1[/tex]. Conforme prosseguimos o processo, utilizando [tex]\frac{(6^2)^3}{6^2}[/tex], [tex]\frac{(6^2)^4}{6^2}[/tex], [tex]\frac{(6^2)^5}{6^2}[/tex], [tex]\frac{(6^2)^6}{6^2}[/tex], … , [tex]\frac{(6^2)^{1012}}{6^2}[/tex], sempre irémos ter divisões perfeitas, enquanto, ao efetuarmos [tex]\frac{(6^2)^3}{6^2 +1}[/tex], [tex]\frac{(6^2)^4}{6^2 +1}[/tex], [tex]\frac{(6^2)^5}{6^2 +1}[/tex], [tex]\frac{(6^2)^6}{6^2 +1}[/tex], … , [tex]\frac{(6^2)^{1012}}{6^2 +1}[/tex], sempre teremos divisões que acabam com resto igual a [tex]1[/tex]. Portanto, podemos afirmar que, [tex]\frac{(6^2)^{1012}}{6^2 + 1} = \frac{6^{2024}}{37}[/tex] é uma divisão que deixará resto igual a [tex]1[/tex]

[i]Obs: optamos por utilizar as frações para representar todas as divisões, para facilitar a visualização e deixar a leitura da resolução mais clara :D [/i]