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Irene Craveiro

Publicações do autor

Somando Frações II

PROBLEMA Mostre a validade da seguinte igualdade, para [tex]n\geq 3[/tex]. [tex]\dfrac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \dfrac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \dfrac{1}{5 \cdot 7 \cdot 9} + \dots + \dfrac{1}{ (n-2) \cdot n \cdot (n+2)}=\dfrac{1} {4} \left(\dfrac{1}{3} – \dfrac {1}{n \cdot(n+2)}\right).[/tex] DICA Tente escrever cada termo da soma como uma subtração de frações de …

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Encontre os algarismo do produto de dois números

PROBLEMA Quais são os algarismos escondidos nos quadradinhos? DICA Quais algarismos podem estar escondidos atrás do segundo quadradinho? Observem a unidade do produto e tenham também em mente que ele é maior do que [tex]1000[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da …

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O Cálculo do algarismo das unidades

PROBLEMA Prove que o algarismo das unidades de [tex] 9^{2n}[/tex] , para [tex]n[/tex] natural, é igual a [tex]1[/tex]. DICA [tex]a^{n} -1=(a-1)(a^{n-1}+ a^{n-2} + \dots + a+1 )[/tex]. Para mais detalhes, visite http://clubes.obmep.org.br/blog/produtos-notaveis-e-equacoes-polinomiais, esta sala Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima …

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O cálculo do valor mínimo da função

PROBLEMA Considere a função polinomial [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/tex] definida por [tex]f(x)=(x^{2} +2020x-1)^{2} +(2x+ 2020)^{2}[/tex]. a) Encontre números reais [tex]k[/tex] e [tex]h[/tex] tais [tex]f(x)=(x^{2}+kx+1)^{2} +h[/tex]; b) Encontre o valor mínimo da função [tex]f[/tex]. DICA O que acham de fazer a expansão dos termos de [tex]f(x)=(x^{2} +2020x-1)^{2} +(2x+ 2020)^{2}[/tex] e depois a expansão da mesma, …

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Calculando a imagem da função

PROBLEMA Considere a função polinomial [tex]f(x) = x^{3} + 2x^{2} -ax -2[/tex], onde [tex]a[/tex] é um número real. Sabendo que [tex]x_{1}[/tex] e [tex]-x_{1}[/tex] são raízes de [tex]f(x)[/tex]. Calcule [tex]f(2)[/tex]? DICA Como [tex]x_1[/tex] e [tex]-x_1[/tex] são raízes da função [tex]f[/tex], então [tex]f(x_1) = f(-x_1) = 0[/tex]. A partir disso, montem duas equações em [tex]x_1[/tex] a fim …

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Uma identidade para o coeficiente binomial

PROBLEMA Prove que, para quaisquer naturais [tex]n,k[/tex], com [tex] 1 \leq k \leq n[/tex], vale a seguinte identidade: [tex]k {\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)} = n {\left( \begin{array}{c} n-1 \\ k-1 \end{array} \right)}[/tex]. DICA [tex]{\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)}= \dfrac{n!}{k!(n-k)!} [/tex] , com [tex]n \geq k[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem …

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Recebendo auxilio

PROBLEMA Uma fila para receber auxílio está sendo formada e, de acordo com um Matemático, as senhas distribuídas para as pessoas nessa fila formam uma progressão aritmética cuja soma é dada pela lei de formação [tex] S_n = n(2n+1),[/tex] com [tex] n \geq 1[/tex]. Qual é o número da senha da vigésima pessoa? DICA Qual …

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Somando coeficientes binomiais

Calcule a soma [tex]S= {\left( \begin{array}{c} 10 \\ 3 \end{array} \right)} + {\left( \begin{array}{c} 10 \\4 \end{array} \right)} + {\left( \begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array} \right)} + \dots + {\left( \begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array} \right)} [/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do …

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Plantação de Eucaliptos em um Terreno Retangular

O dono de um terreno retangular de 36 metros de comprimento por 21 metros de largura deseja cercá-lo com eucaliptos plantados com distâncias iguais um do outro, e quer manter, entre os eucaliptos, a maior distância possível, medida em um número inteiro de metros. Se em cada canto do terreno for plantado um eucalipto, qual …

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