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Operação ponto médio

PROBLEMA

Dados os pontos [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] do plano cartesiano com coordenadas [tex] (x_1, y_1)[/tex] e [tex](x_2, y_2)[/tex], respectivamente, a operação ponto médio [tex]\ast[/tex] calcula o ponto [tex]P\ast Q[/tex] com coordenadas [tex]\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)[/tex]. Mostre que, para quaisquer pontos [tex]P[/tex], [tex]Q[/tex] e [tex]R[/tex] do plano é válida a propriedade
[tex]\qquad{P\ast(Q\ast R)=(P\ast Q)\ast(P\ast R),}[/tex]
conhecida como autodistributividade.

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 29, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

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2 comentários

  1. Uma questão simples… vamos lá

    Sendo as coordenadas de [tex]P,Q,R[/tex] respectivamente [tex](x_p, y_p),(x_q, y_q),(x_r, y_r)[/tex], temos que:

    [tex]P\ast Q=\left(\dfrac{x_p+x_q}{2}, \dfrac{y_p+y_q}{2}\right)[/tex]
    [tex]P\ast R=\left(\dfrac{x_p+x_r}{2}, \dfrac{y_p+y_r}{2}\right)[/tex]
    [tex]Q\ast R=\left(\dfrac{x_q+x_r}{2}, \dfrac{y_q+y_r}{2}\right)[/tex]

    A partir disso:

    [tex]P\ast(Q\ast R)=\left(\dfrac{x_p+\frac{x_q+x_r}{2}}{2},\dfrac{y_p+\frac{y_q+y_r}{2}}{2}\right)=\left(\dfrac{2x_p+x_q+x_r}{4},\dfrac{2y_p+y_q+y_r}{4}\right)[/tex]

    [tex](P\ast Q)\ast(P\ast R)=\left(\dfrac{\frac{x_p+x_q}{2}+\frac{x_p+x_r}{2}}{2},\dfrac{\frac{y_p+y_q}{2}+\frac{y_p+y_r}{2}}{2}\right)=\left(\dfrac{2x_p+x_q+x_r}{4},\dfrac{2y_p+y_q+y_r}{4}\right)[/tex]

    1. Parabéns Koreil Guys. A solução está correta.

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