Uma soma famosa

O nome dessa questão é muito bem colocado, dado que foi esse somatório de infinitos termos dos inversos dos quadrados ( na questão não está infinito ainda assim a original era) que começou a fama de um dos matemáticos mais conhecido Leonard Euler, o resultado desse somatório é aproximadamente π²/6 (é aproximado justamente porque na questão só vai até o inverso do quadrado de mil, caso fosse até o infinito seria exatamente esse resultado) e agora vou fazer a demonstração que prova tal resultado:

Primeiramente a função que Euler usou para descobrir o resultado foi o seno, ele expressou essa função de duas maneiras e depois obteve o resultado comparando as duas, a primeira foi :

Sen(x)= x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! …

A segunda vem da aplicação do teorema da fatoração de Weierstrass onde é possível expressar uma função em termos de seus zeros, os zeros da função Seno são todos onde x é um múltiplo de π, assim é possível expressar o Seno como :

Sen(x) = x (1-x/π)(1+x/π)(1-x/2π)(1+x/2π)…

É possível simplificar com o conceito de produto notável da soma pela diferença:

Sen(x) = x(1-x²/π²)(1-x²/2²π²)(1-x²/3²π²)…

Se aplicarmos a distributiva ficaremos com um somatório de infinitos termos:

Sen(x) = x-x³/π²(1-x²/2²π²)(1-x²/3²π²)…

x – x³/2²π² – x³/π² + x⁵/2²π⁴ (1-x²/3²π²)…

x – x³/3²π² – x³/2²π² + x⁵/6²π⁴ – x³/π² + x⁵/3²π⁴ + x⁵/2²π⁴ – x⁷/6²π⁶ …

Organizando os termos com o mesmo numerador e colocando-o em evidência temos :

x -(1/π² + 1/2²π² + 1/3²π²…)x³ + (1/2²π⁴ + 1/3²π⁴ + 1/6²π⁴…)x⁵ …

E agora depois de todo esse processo chegou a hora retornar a ponto original comparando os dois somatório:

Sen(x)= x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! …

x -(1/π² + 1/2²π² + 1/3²π²…)x³ + (1/2²π⁴ + 1/3²π⁴ + 1/6²π⁴…)x⁵ …

Percebesse então que cada somatório tem termos que alternam entre positivo e negativo, o fato principal no entanto é que para cada termo da expressão de cima existe um somatório de infinitos termos com o numerador em comum na expressão de baixo o que permite assumir portanto que ambos os termos são iguais, temos assim:

x³/3! = (1/π² + 1/2²π² + 1/3²π²…)x³
1/6 = 1/π² + 1/2²π² + 1/3²π²…
π²/6 = 1 + 1/2² + 1/3² …

E assim fica provado que o somatório infinito do inverso dos quadrados é igual a π²/6, agora retomando a questão, basta checar se π²/6 é ≤ 1,75 , π²/6 é igual a 1,6449340668482… , e assim fica provado o enunciado da questão.