PROBLEMA
Durante uma aula em um clube de matemática, dez alunos devem ser divididos em dois subgrupos. Um subgrupo irá resolver problemas de álgebra e o outro subgrupo problemas de geometria. O professor do clube informa que a única restrição é que cada subgrupo deve ter no mínimo um aluno.
De quantos modos pode ser feita essa divisão?
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 5, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2024: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 5, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2024: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Bons estudos, pessoal!
10 comentários
Pular para o formulário de comentário
Bom dia!
Para resolvermos esse problema, começamos separando todas as possibilidades. Para isso separamos os pares (Álgebra – Geometria) :
(9-1)/(8-2)/(7-3)/(6-4)/(5-5)/(4-6)/(3-7)/(2-8)/(1-9)
Feito isso, obtemos no total 9 possibilidades.
Autor
Olá, Equipe Fibonacci.
A solução não está correta.
Ao fazer o caso 9-1 (nove pessoas para o de Álgebra e um para geometria) temos 10 soluções diferentes, concordam?
Cada caso considerado tem mais de uma solução possível.
Sejam A e B os subgrupos.
Há [tex]2^{10}[/tex] maneiras de os alunos se distribuírem nos subgrupos, pois cada aluno tem duas opções de subgrupos para escolher e há 10 alunos no total.
Porém, essa contagem inclui os casos nos quais um dos subgrupos é vazios. Há exatamente dois desses casos:
– Caso 1: subgrupo A vazio // subgrupo B com todos os alunos
– Caso 2: subgrupo B vazio // subgrupo A com todos os alunos
Logo, a quantidade total de casos procurados é [tex]2^{10}-2=1022[/tex]
Há outro jeito de fazer essa questão, mais complicado, que é por combinação completa. Amanhã eu compartilho essa outra solução.
Autor
Solução correta.
Parabéns, Koreil Guys!
Temos que serão dois grupos e, cada aluno poderá escolher entre eles. Como tem 10 alunos, terá [tex]2^10[/tex] maneiras de ocupar esses grupos. Porém, como cada grupo precisa ter pelo menos uma pessoa, teremos o seguinte caso:
Grupo I : 10 alunos e Grupo ll : nenhum
Grupo l : nenhum e Grupo ll : 10 alunos
Exclui-se esses dois casos. Logo, há [tex]2^10[/tex] – 2 = 1022 modos de ocupá-los.
Autor
Solução correta, Obmépicos!
Parabéns.
Para o aluno 1, temos 2 subgrupos
para o A2, temos 2 subgrupos e assim, sucessivamente…
Logo, 2^10, Como cada subgrupo deve ter no mínimo um aluno, devemos retirar de 2^10 os casos em que todos ficam no subgrupo 1 ou todos no subgrupo 2.
Assim, essa divisão pode ser feita de 2^10 – 2 modos
Totalizando, 1022.
Outra forma de enxergar isso, é considerando combinações. Somando as combinações, temos casos análogos para o segundo subgrupo. Por exemplo, se eu quero considerar o caso em que o subgrupo 1 possui 1 aluno, eu utilizo C10,1 (combinação de 10 tomados de 1 a 1), nesse caso o subgrupo 2 teria 9 alunos.
Assim,
Total de subgrupos 1,2 = C10,1 + C10,2 + C10,3 + … + C10,8 + C10,9 = 1022
Autor
Solução correta, LAPLACES.
Parabéns!
Podemos selecionar os alunos que participarão do grupo de álgebra, por exemplo, e consequentemente os demais participarão do grupo de geometria. O grupo de álgebra pode ter entre [tex]1[/tex] e [tex]9[/tex] alunos, inclusive, para que não haja grupos vazios.
No caso em que o grupo de álgebra tem [tex]x[/tex] alunos, devem ser selecionados [tex]x[/tex] de [tex]10[/tex] possíveis alunos. Logo, o total de possibilidades nesse caso é [tex]\binom{10}{x}[/tex].
Consequentemente, o total de formas de fazer essa divisão é [tex]\binom{10}{1} + \binom{10}{2} + \binom{10}{3} + \binom{10}{4} + \binom{10}{5} + \binom{10}{6} + \binom{10}{7} + \binom{10}{8} + \binom{10}{9}[/tex].
Sabe-se que [tex]\binom{x}{y} = \dfrac{x!}{y!\times (x-y)!}[/tex]. Logo, o resultado da soma acima é [tex]10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 = 1022[/tex].
Portanto, há [tex]1022[/tex] formas de organizar os alunos em grupos conforme o pedido da questão.
Autor
Parabéns, Apótema Mineira.
Solução correta.