set 30

Probleminha: Preenchendo tabela

PROBLEMA

Bruno quer preencher cada quadradinho da tabela abaixo com quatro números naturais, tais que o produto seja igual a [tex]4[/tex].

De quantas maneiras ele pode fazer isso?

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 3, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2024: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2024/09/probleminha-preenchendo-tabela/

8 comentários

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  1. Bom dia!! Tudo bem?

    Primeiramente vamos encontrar todas as multiplicações que resultam em 4. São elas 2×2 e 1×4.
    Como a tabela precisa ser preenchida por completo, usaremos o elemento neutro da multiplicação (1) para não afetar o resultado final.
    Completando a tabela com as multiplicações 1x1x2x2 e 1x1x1x4 obtemos:
    2-2-1-1, 2-1-2-1, 2-1-1-2, 1-2-1-2, 1-1-2-2, 1-2-2-1, 4-1-1-1, 1-4-1-1, 1-1-4-1, 1-1-1-4
    Totalizamos então 10 maneiras.

    1. Muito bem, Equipe Fibonacci.

      Estão corretos.

  2. Os divisores de 4 são 4,2 e 1. Desse modo, só podemos utilizar esses valores na tabela.

    CASO 1:
    4, 1, 1, 1 – Permutação com repetição – 4 possibilidades

    CASO 2:
    2,2,1,1 – Permutação com repetição – 6 possibilidades

    4+6=10

    1. Parabéns, Koreil Guys.

      Solução correta.

  3. Resolução da questão:
    Para resolver o problema, precisamos encontrar os valores naturais que, ao serem multiplicados, resultem em 4, permitindo a repetição de números. Existem duas possibilidades:

    Opção 1: 1x1x1x4 = 4;
    Opção 2: 1x2x1x2 = 4;

    Agora, calculamos as permutações para cada caso. Como temos 4 números, faremos permutações levando em conta as repetições, em que 1 se repete 3 vezes na opção 1, e o número 1 e 2 se repetem 2 vezes na opção 2:

    Opção 1: 4!/3!=4x3x2x1/3x2x1=24/6= 4
    Opção 2: 4!/2!x2! = 4x3x2x1/(2×1 + 2×1)= 24/4= 6

    Portanto, o total de possibilidades será a soma da opção 1 e opção 2: 4 + 6 = 10.

    1. Muito bem, Sociedade de Hilbert.

      Estão corretos.

  4. No conjunto dos naturais somente 1×4 e 2×2 resultam em 4.
    No caso 1×4 o 4 pode estar em qualquer uma das casas e os 1 nas outras, logo 4 possibilidades
    Já no caso 2×2 Dois espaços seriam preenchidos com números 2 e dois com o numero 1, totalizando 6 possibilidades

    6 + 4 = 10

    1. Parabéns, Lógicos.

      Solução correta.

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