Entropia das senhas

Para determinar qual sistema de senha é mais forte, precisamos calcular a entropia \( E \) de cada um deles usando a fórmula:

\[
E = \log_2(n^k)
\]

Sistema 1:Senha com 4 símbolos escolhidos entre 32 símbolos.

Aqui, [b]n = 32[/b] e [b]k = 4[/b] :

\[
E_1 = \log_2(32^4) = 4 \cdot \log_2(32)
\]

Sabendo que[b] 32 = 2^5[/b] , temos:

\[
\log_2(32) = 5
\]

Portanto:

\[
E_1 = 4 \cdot 5 = 20
\]

**Sistema 2: Senha com 6 símbolos escolhidos entre 10 símbolos.

Aqui, [b]n = 10 [/b]e [b]k = 6[/b] :

\[
E_2 = \log_2(10^6) = 6 \cdot \log_2(10)
\]

Usando o valor dado de \( \log_2(10) \):

\[
\log_2(10) \approx 3,322
\]

Assim:

\[
E_2 = 6 \cdot 3,322 \approx 19,932
\]

Comparação:

[b]- E_1 = 20 [/b]
[b]- E_2 \approx 19,932 [/b]

Como [b] E_1 > E_2[/b] , o sistema de senha com 4 símbolos escolhidos entre 32 símbolos é mais forte do que o sistema com 6 símbolos escolhidos entre 10 símbolos.

Inicialmente, veja que , dado n e m reais positivos onde n>m, temos que [tex]Log_{2}(n)>Log_{2}(m)[/tex]. Assim, quanto maior o número de senhas possíveis com k símbolos escolhidos em um conjunto com n símbolos disponíveis, maior a entropia, já que n^{k} representa a quantidade de senhas diferentes que podem ser feitas, afinal para cada símbolo da senha há n possíveis escolhas. Portanto, temos que [tex]32^{4}=(2^{5})^{4}=2^{20}=(2^{6})(2^{14})[/tex] e [tex]10^{6}=(2\cdot5)^{6}=2^{6}\cdot5^{6}[/tex], mas [tex]2^{14}=(2^{7})^2=128^2~e~5^{6}=(5^{3})^{2}=125^{2} ~e~128>125 \Rightarrow2^{14}>5^{6}[/tex], logo, [tex]Log_{2}(32^{6})>Log_{2}(10^{6})[/tex], ou seja, a entropia do sistema com 4 símbolos escolhidos entre 32 símbolos te maior entropia.