Comprimento de curva

A medida da curva em vermelho é equivalente à soma dos arcos AB, BC, CD, DE e EF.

O arco AB é [tex]\dfrac{1}{4}[/tex] do comprimento de uma circunferência de raio 5:

[tex]AB = 5\cdot2\cdot\pi\cdot\dfrac{1}{4}=2,5\pi[/tex]

O mesmo raciocínio se aplica aos outros arcos:

[tex]BC=1,5\pi[/tex]

[tex]CD=\pi[/tex]

[tex]DE=EF=0,5\pi[/tex]

[tex]AB+BC+CD+DE+EF=6\pi[/tex]

Interessante ressaltar que os retângulos da figura estão conforme a proporção áurea (lado = 1,1,2,3,5, …).

Ao escrever esse problema, fiquei com uma dúvida: qual o comando em [tex]latex [/tex] para colocar o sinal de arco?

Para calcular o comprimento da curva, como ela é composta por arcos de circunferência inscritos em quadrados, podemos utilizar a fórmula do comprimento do arco da circunferência ([tex]r \cdot \theta[/tex]), onde o raio [tex]r[/tex] destes serão iguais aos lados do quadrado o quais estão inscritos, e como todos os comprimentos representam [tex]\frac{1}{4}[/tex] de uma circunferência completa, todos os arcos menores possuem um ângulo [tex]\theta = 90º = \frac{\pi}{2}rad[/tex]. Com isso, começando pelo arco [tex]AB[/tex], indo até o arco [tex]EF[/tex], em ordem decrescente, temos:

[tex]AB = \frac{\pi}{2} \cdot 5 \Rightarrow AB = \frac{5\pi}{2}[/tex]
[tex]BC = \frac{\pi}{2} \cdot 3 \Rightarrow BC =\frac{3\pi}{2}[/tex]
[tex]CD = \frac{\pi}{2} \cdot 2 \Rightarrow CD = \pi = \frac{2\pi}{2}[/tex]
[tex]DE = EF = \frac{\pi}{2} \cdot 1 \Rightarrow DE = EF = \frac{\pi}{2}[/tex]

Agora, para calcular o comprimento [tex]C[/tex], ou seja, toda a curva em vermelho, basta somar todos os resultados obtidos:

[tex]C = AB + BC + CD + DE + EF \Rightarrow C = \frac{5\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} + \frac{2\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow C = \frac{12\pi}{2} = 6\pi[/tex]

Com isso, chegamos a conclusão de que, o comprimento [tex]C[/tex] da curva em vermelho possui um comprimento de [tex]6\pi[/tex] cm (aproximadamente [tex]18,85[/tex] cm)

Observando a figura percebemos que podemos separar as circunferências para facilitar o calculo.

Tendo no final os seguintes arcos: FE e ED(Que são iguais),DC,CB e BA.
É perceptível ver que a cada arco de circunferência pode ser julgado como 1/4 de um circulo inteiro, portanto no calculo vamos considerar o lado do quadrado aonde está inserido seu raio, já que na pratica realmente seria.
E precisamos calcular seu comprimento no caso seu perímetro, tendo como o formula 2π.R.

FE=ED
2.π.1/4 = 0.5π

DC
2.π.2/4 = π

CB
2.π.3/4= 1.5π

BA
2.π.5/4= 2,5π

FE+ED+DC+CB+BA= 0,5π+0,5π+1π+1,5π+2,5π = 6π
Portanto o comprimento das semicircunferências é igual a 6 π.