PROBLEMA
Algumas crianças estão brincando de ciranda no parque do bairro onde moram conforme figura.
De quantos modos eles podem se organizar nessa roda de modo que Ana e Mateus fiquem sempre juntos?
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 22, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas. do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 22, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas. do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Bons estudos, pessoal!
8 comentários
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Considerando Matheus e Ana como uma pessoa única, temos que, na roda, há 9 pessoas.
O número de maneiras distintas de elas se organizarem na roda pode ser calculado por meio de permutação circular:
[tex](P_c)_9=(9-1)!=8!=40320[/tex]
Porém ainda é preciso considerar o seguinte: se Matheus está na esquerda ou na direita de Ana. Isso dobra a quantidade de casos:
[tex]40320\times2=80640[/tex]
Autor
Parabéns pela solução.
Considerando que Mateus e Ana devem ficar juntos, podemos agrupá-los em um “bloco”. Isto é, ao invés de considerar que temos 10 crianças, podemos considerar que temos apenas 9 crianças, sendo que umas destas, serão Mateus e Ana, que estão contando apenas como um. Em uma roda de [tex]n[/tex] objetos (neste caso, crianças), o número de arranjos diferentes possíveis é de [tex](n-1)![/tex], logo, temos [tex](9-1)! \Rightarrow 8![/tex]. Porém, para todos estes [tex]8![/tex] casos, nós podemos trocar Ana e Mateus de lugar um com o outro, ou seja, temos [tex]2[/tex] maneiras diferentes para cada um dos [tex]8![/tex] casos. Por fim, utilizando do [tex]PFC[/tex], podemos concluir que, o total de maneiras possíveis para organizar esta roda de crianças, de maneira que Mateus e Ana fiquem juntos, é de [tex]8! \cdot 2 = 80.640[/tex].
Autor
Parabéns!
Temos uma permutação circular. Podemos considerar Mateus e Ana como uma pessoa só.
Então, teremos {(10-1) -1}! = 8! = 40.320 maneiras distintas deles estarem lado a lado.
Entretanto, tem-se o fato de Mateus estar a direita de Ana ou Ana estar a direita de Matheus, logo, as possibilidades dobrarão. Nesse caso, teremos:
2 x 40.320 = 80.640 maneiras em que Mateus e Ana ficarão juntos.
Autor
Parabéns pela solução.
Para resolver essa questão, precisamos considerar que Ana e Mateus devem ser tratados como uma única entidade, já que eles devem ficar sempre juntos. Assim, ao invés de termos 10 crianças, teremos 9 “entidades” para organizar na roda.
Organizando as entidades na roda: Como a disposição é circular, a fórmula para permutações circulares é ((n-1)!). Portanto, para 9 crianças :
(9−1)!=8!=40.320
Organizando Ana e Mateus entre si: Dentro da entidade “Ana e Mateus”, eles podem trocar de lugar entre si de 2 maneiras (Ana à esquerda de Mateus ou Mateus à esquerda de Ana).
Portanto, o número total de modos de organizar as crianças na roda, com Ana e Mateus sempre juntos, é:
8!×2=40.320×2=80.640
Então, existem 80.640 maneiras de organizar as crianças na roda de modo que Ana e Mateus fiquem sempre juntos!.
Autor
Parabéns pela solução.