Categoria: Desafio Olímpico

Ali Babão e a Trigésima Quarta de suas 40 Equações

PROBLEMA Encontre uma raiz da equação [tex]x^{x^{20}}=\sqrt[\sqrt{2}]{2}.[/tex] DICA [tex]\rhd[/tex] Escreva [tex]x^{20}=a[/tex] e tente encontrar uma igualdade na qual o primeiro membro é da forma [tex]a^a[/tex]. Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema. Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 17.06.21, deem uma passadinha na Sala Problemas 2020: …

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Ali Babão e a Trigésima Segunda de suas 40 Equações

PROBLEMA Sejam [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] reais positivos tais que [tex]x ^ 3 + y ^ 3 + (x + y) ^ 3 + 30xy = 2000[/tex]. Mostre que [tex] x + y = 10 [/tex]. DICA Uma ideia é encontrar uma fatoração adequada. Como dica inicial, procure somar e subtrair [tex]3x^2y+3xy^2[/tex], rearranjando os termos. Reúnam …

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Desigualdade MA-MG: Provando com Geometria

PROBLEMA Com o roteiro abaixo, vamos construir uma prova geométrica para a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica. Vamos lá? (a) Sobre uma reta suporte, construa dois círculos tangentes entre si. O de centro [tex]A[/tex] tem diâmetro [tex]a[/tex] e, o de centro [tex]B[/tex], diâmetro [tex]b[/tex], com [tex]a\geq b[/tex]. Qual é a medida do segmento …

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Prova sem palavras 2

PROBLEMA As figuras a seguir são uma prova sem palavras de que [tex]\sqrt{2} [/tex] é irracional: Vamos transformar essas figuras em uma prova com palavras! a) Na Figura 1, sendo [tex]m[/tex] o lado do quadrado maior e [tex]n[/tex] o lado dos quadrados menores, mostre que [tex]\dfrac{m}{n}=\sqrt{2}[/tex]. b) Na Figura 2, há um quadrado rosa escuro …

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