out 14

Tommy Roots

PROBLEMA

Calcule o valor de [tex]4x+2y[/tex] sabendo que

[tex]\sqrt{x+\sqrt{y}}+\sqrt{x-\sqrt{y}}=2[/tex] e [tex]\sqrt{y+\sqrt{x}}+\sqrt{y-\sqrt{x}}=1[/tex].

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 17, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas. do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2024/10/tommy-roots/

2 comentários

  1. Vamos elevar ambas as expressões ao quadrado para eliminar raízes:
    [tex]x + sqrt{y} + x – sqrt{y} + 2\times\sqrt{(x+sqrt{y})\times(x-sqrt{y})} = 4[/tex]
    [tex]y + sqrt{x} + y – sqrt{x} + 2\times\sqrt{(y+sqrt{x})\times(y-sqrt{x})} = 1[/tex]
    Logo,
    [tex]2\times x + 2\times\sqrt{x^2-y} = 4[/tex]
    [tex]2\times y + 2\times\sqrt{y^2-x} = 1[/tex]
    Dividindo por 2, isolando as raízes e elevando ao quadrado novamente para eliminá-las de vez:
    [tex]x^2 – 4\times x + 4 = x^2 – y[/tex]
    [tex]y^2 – y + \dfrac{1}{4} = y^2 – x[/tex]
    Ou seja,
    [tex]y + 4 = 4\times x[/tex]
    [tex]x + \dfrac{1}{4} = y[/tex]
    Substituindo a segunda na primeira,
    [tex]x + \dfrac{1}{4} + 4 = 4\times x[/tex], logo [tex]x = \dfrac{17}{12}[/tex] e [tex]y = \dfrac{20}{12} = \dfrac{5}{3}[/tex].
    Logo, [tex]4x + 2y = \dfrac{17}{3} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{27}{3} = 9[/tex], sendo essa a resposta.

    1. Resposta correta. Parabéns!

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